文档介绍：第十一章多元函数积分学
第一节二重积分的概念与计算
思考题:
1. 把一元定积分的数学模型推广到二维空间,可以得到一个式子,
你对这个式子要说些什么?回顾一元定积分的定义,可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型,被称为二重积分的定义,你将获得一次创造思维的锻炼,对微元法模型的理解会更深刻,不妨一试.
答:在式中,表示将平面区域任意分割成份后所得第个小区域的面积, 是取自于第个小区域内的任何一点的坐标, 是二元函数在点处的函数值, 表示所有个小区域的直径中的最大值.
上式即表示, 当函数在平面区域内有定义时, 可将平面区域任意分割成个小区域, 记为第个小区域的面积, 然后在第个小区域中任取一点, 作乘积的和, 若此和式的极限存在, 则称二元函数在区域上可积, 并称上述极限值为二元函数在区域上的二重积分.
2. 试述二重积分的几何意义.
答:当在区域上满足时,代表以面内的区域为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 若, 则表示体积的负值.
直角坐标系下,计算二重积分的主要步骤有哪些,其关键点是什么?
答:主要步骤包括:①画出积分区域的图形, ②选择积分次序并确定积分限,③计算累次积分求得结果. 其关键点是恰当选择积分次序,正确确定积分限.
4. 在极坐标系下,计算二重积分的主要步骤有哪些,其关键点是什么?
答:主要步骤包括:①画出积分区域的图形,并用极坐标描述D, ②确定积分限, ③.
5. 就二重积分的积分域而言,当积分域具有什么样的特征时,选择在直角坐标系(或极坐标系)下计算该二重积分.
答:当积分域为圆形域,扇形域或形域时,选择极坐标系下计算该二重积分,其它型的积分域,一般均选择直角坐标系下计算该二重积分.
6. 当被积函数具有何种特征时,选择在直角坐标系(或极坐标系)下计算该二重积分方便.
答:当被积函数中含有的项时,选择极坐标系下计算二重积分方便,其他情形,一般选择直角坐标系下计算二重积分.
习作题:

计算, 其中.

1

-
1

1

解:如图,先对后对积分,则
=
=
=.
2. 计算,其中由面上的直线及所围成.
解:如图, : 先对后对积分,得
-
O
x
y
2
2
1
1
=
=
=.
计算,其中.
解:令,则可表为:
从而=
=2
=.
4. 计算,其中是由圆周与所围成的平面区域.
解:令,则可表为:
从而
=
=
=
=4.
O
x
y
2
4
5. 画出二次积分的积分区域并交换积分次序.
解::
的图形如右图,由图可知,也可表为
所以交换积分次序后,得.
O
x
y
z
6. 利用二重积分求下列几何体的体积:
(1)平面所围成的几何体.
解: 如图,该几何体可看成是以面的区域:
为底,以平面为顶的柱体,故体积
=
=
.
(2)平面= 0及抛物面所围成的几何体.
解:如图,几何体可看成是以面内的区域:为底,以曲面为顶的曲顶柱体.
故体积V=
令,,
则:
从而===.
第三节三重积分的概念与计算
思考题:
1. 试述计算三重积分的步骤.
答:(1)画出积分区域的图形, (2)将向某个坐标面投影确定积分次序和积分限,(3)计算累次积分求得结果.
2. 总结出在不同的坐标系下,区域的表达式和相应的积分表达式.
答:(1)直角坐标下,常将方形域表为
:
相应的积分表达式为:
(2)柱面坐标系下:常将柱形域表为
D
x
y
a
b
O
z
:
相应的积分表达式为
=.
(3)球面坐标系下:常将球形域表为
:
相应的积分表达式为:
.
D
x
y
z
O
习作题:
O
x
y
z
1
1
1. 计算其中由平面, = 0, = 0, = 0所围成的空间区域.
解:如图

所以

.
2. 选适当的坐标系计算,其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.
O
x
y
z
1
1
解:如图,选取柱面坐标系计算方便,
此时,
所以
=
=.
3. 利用三重积分计算曲面与曲面所围成的立体体积.
解:取球面坐标系计算方便.
此时两曲面所围区域
所以体积
=
=
=.
第四节对坐标的曲线积分
思考题:
1. 对坐标的曲线积分如何化为一元定积分来计算?
答:将曲线的方程参数化,设为并确定的起点和终点对应的参变量的值,设为,则曲线积分即可化为对参变量的定积分,即
.
2. 为什么对坐标的曲线积分化为定