文档介绍：对角矩阵
对角矩阵是矩阵中最简单的一种 →哪些A (∈L(V))在适当的基下,其矩阵是对角矩阵? →若A 在某基下的矩阵是对角矩阵,则称A 可对角化→本节问题:什么样的线性变换可以对角化?
(定理1) A (∈L(V), dimV=n) 可对角化的
充要条件是:A 有n个线性无关的特征向量.
2 (定理8) 属于不同特征值的特征向量线性无关.
证明: 对特征值的个数n进行归纳.
仅一个特征值λ1时,据定义存在非零向量ξ∈V,有
A ξ=λ1ξ成立→ξ显然线性无关.
设属于k个不同特征值的特征向量线性无关,现证属于k+1个不同特征值λ1, ···,λk, λk+1的特征向量ξ1, ···,ξk, ξk+1线性无关.
设 a1ξ1+ ··· + akξk + ak+1ξk+1= 0 (1)
给等式(1)两边同乘以λk+1,得
a1 λk+1 ξ1+ ··· + ak λk+1 ξk + ak+1 λk+1 ξk+1= 0 (2)
给等式(1)两边同施以线性变换A ,得
A(a1ξ1+ ··· + akξk + ak+1ξk+1) = a1A ξ1+ ··· + akA ξk + ak+1A ξk+1 = a1λ1ξ1+ ··· + akλkξk+ ak+1λk+1ξk+1 = 0 (3) 由(3) -(2) 得 a1(λ1-λk+1)ξ1+ ··· + ak(λk-λk+1)ξk + ak+1(λk+1-λk+1)ξk+1= 0 → a1(λ1-λk+1)ξ1+ ··· + ak(λk-λk+1)ξk = 0 →因ξ1, ···,ξk 线性无关(归纳假定) 可知 ai(λi-λi) = 0 , i =1, ··· , n →因特征值互异,即λi-λi ≠ 0 , i =1, ··· , n ,故得 a1= ··· = a k = 0 →等式(1) 为 a k+1ξk+1 = 0 →由ξk+1≠ 0 推出 a k+1 = 0 →ξ1, ···,ξk, ξk+1线性无关. □
3 (推论1) A ∈L(V), dimV=n, fA (λ)在数域P中有n个
不同的根,则可对角化.
············
ξ1
ξ2
ξn
λ1 λ2 ··············· λn
A
(推论2) A ∈L(V), dimV=n, fA (λ)在复数域C中无重
根,则可对角化.
证明思路与定理8相仿,对特征值的个数k 进行归纳即可,此处从略. 关键是正确理解意义.
······
λ1 λ2 ··············· λk
A (∈L(V))