微分与不定积分.pdf

文档介绍：§ 微分与不定积分
本节先介绍单调函数、有界变差函数的定义、相互联系、基本性质;然后
引入了绝对连续概念,讨论了绝对连续函数与单调函数、有界变差函数的关系;
最后研究了牛顿莱布尼兹公式成立的充要条件是 f(x)绝对连续。

§ 单调函数与有界变差函数

定理 设 F(x)是[a,b]上定义的单调函数,则
(1) f 在[a,b]上间断点至多可数,从而 F 在[a,b]上(R)可积,
(2) F 在[a,b]上几乎处处可微.
(3) f=F'在[a,b]上(L)可积,并有 fdx= F'dt≤F(x)-
∫[]a,x ∫[]a,x
F(a) (对∀x ∈[]a,b )
证明(1)不妨假定 f(x)在[a,b]上单调增,由数学分析知:f(x)只有第一
+ − 1
类间断点。令 S(x)=f(x )-f(x )并称之为f在x处的跃度,则对任意>0,
n
1
满足 E ={x|S(x)≥}为有限集。(事实上, E ≤n[F(b)-F(a)]),从而间
n n n
∞
断点全体 E= E n 至多可数,由(R)可积的充分必要条件知 f 在[a,b]上(R)可
Un=1
积。
(2)关于 F(x)几乎处处可微的证明,涉及维他利覆盖和导出数概念,已超
出本教材范围,故此处省去其严格的证明过程,但附录予本教材末供读者自学。
(3)为了叙述方便,我们补充规定:当 x>b 时,F(x)≡b。此时,F(x)在
[a,+∞)几乎处处可微,所以对于任意极限为 0 的数列{h n },有
1
[F(t+h n )-F(t)]─→F'(t) 于[a,b]
hn
1
则 F'(t)dt≤ lim [F(t+h n )-F(t)]dt (Fatou 引理)
∫[]a,x n→∞∫[]a,x
hn
1
= lim [F(t+h)-F(t)]dt (海涅极限定理)
h→0 h ∫[]a,x
1
= lim [ F(t)dt- F(t)dt] (R 积分的变量替换)
h→0 h ∫[]a+h,x+h ∫[]a,x
1
= lim [ F(t)dt+ F(t)dt- F(t)dt]
h→0 h ∫[]a+h,x ∫[]x,x+h ∫[]a,x
1
= lim [ F(t)dt- F(t)dt]
h→0 h ∫[]x,x+h ∫[]a,a+h
1
≤ lim [F(x+h)×h-F(a)×h] (由F(x)的单调性及 R 积分的性质得,这里 h>0)
h→0 h
=F(x)-F(a) ,证毕。
定义 f 在[a,b]上有定义,对任意分划 T:a=x 0 <x 1 <x 2
b n
<,...,x n =b,称V (f,T)= |f(x i )-f(x i−1 )|为 f 关于分划 T 的变差,称
a ∑
i=1
b sup b b
V (f)= T V (f,T)为 f 在[a,b]上的全变差,若V (f)<+∞,则称 f 是[a,b]
a a a
上的有界变差函数。
b
显然,有界变差函数是有界函数。事实上,|f(x)-f(a)|≤V (f),对任意
a
b
x∈[a,b]有|f(x)|≤V (f)+|f(a)|=M<+∞
a
根据全变差定义求全变差较麻烦,对于单调函数而言确相当简单。
例 [a,b]上定义的任一单调函数 f(x)都是有界变差函数,且
b
V (f)=|f(b) -f(a)|
a
证明不妨假定 f 单调增,因为对任意的分划 T:a=x 0 <x 1 <x 2 <,...,x n
b n b
=b 有V (f,T)= |f(x i )-f(x i−1 )|=f(b)-f(a),故V (f)=f(b)-f(a)<
a ∑ a
i=1
+∞,即 f(x)是有界变差函数。证毕。
既然对于单调函数而言求全变差是如此简单,那么是否对于较复杂的函数可
以分成若干个单调区间各个击破呢?答案是肯定的,有下述定理作为保证。
定理 若 f 是[a,b]上的有界变差函数,则对任意 c∈(a,b)有
b c b
V (f)=V (f)+V (f)
a a c
0 1 2
证明对任意ε>0,存在分划 T:a=x <x <x <,...,x n =b 满足
b n b
V (f,T)= |f(x i )-f(x i−1 )|≥V (f)-ε,如果此分划中没有分点