微积分习题答案 (10).pdf

文档介绍：1
习题
1. 证明 Gronwall 不等式: 设 x(t), f(t) 为区间[t0, t1] 上的非负实连续函数, 若有实常数 g ≥ 0 使得
Z t
x(t) ≤ g + f(τ) x(τ) dτ, t ∈[t0, t1],
t0
则
Z t
x(t) ≤ g exp( f(τ)dτ), t ∈[t0, t1].
t0
证明: 先证 g > 0 时 Gronwall 不等式成立. 由假设知
Z
1 t
x(t)f(t) ≤ gf(t)(1 + x(τ) · f(τ)dτ).
g
t0
令
Z t
v(t) = x(τ) · f(τ)dτ,
t0
则上述式不等可写成
dv(t) 1
≤ gf(t)(1 + v(t)),
dt g
即
v0(t)
1 ≤ gf(t).
1 + g v(t)
在上式两边从 t 到 t 积分, 得:
0 Z
1 t
ln(1 + v(t)) ≤ f(τ)dτ,
g
t0
即
Z
1 t
1 + v(t) ≤ exp( f(τ)dτ),
g
t0
再由假设得
: Z
1 t
x(t) ≤ g + v(t) ≤ g(1 + v(t)) ≤ g exp( f(τ)dτ).
g
t0
因此,当 g > 0 时 Gronwall 不等式成立.
现在设 g = 0. 这时有
Z t
x(t) ≤ x(τ) · f(τ)dτ,
t0
要证明 x(t) ≡ 0. 由假设知,对任一² > 0, 都有:
Z t
x(t) ≤² + x(τ) · f(τ)dτ.
t0
由上面的结果知:
Z t
x(t) ≤² exp( f(τ)dτ).
t0
因² > 0 为任一正数,故 x(t) ≡ 0.
2
3. 不用推广 Gronwall 不等式, 直接证明 Gronwall 不等式的另一推广: 设 x(t), f(t) 为区间 t ∈[t0, t1]
上的非负连续函数, C, K 为非负常数. 若当 t ∈[t0, t1] 时有:
Z t
x(t) ≤ C + [f(τ)x(τ) + K]dτ, (1)
t0
则当 t ∈[t0, t1] 时:
Z t
x(t) ≤[C + K(t − t0)] exp( f(τ)dτ). (2)
t0
证明: 先证C > 0时(2)成立。令
Z t
v(t) = [f(τ)x(τ) + K]dτ,
t0
则(2)式可写成
v0(t) K K
≤ f(t) + ≤ f(t) + ,
C + v(t) C + v(t) C + K(t − t0)
在上式两边从t0到t积分,得:
Z
v(t) t K(t − t )
log(1 + ) ≤ f(τ)dτ+ log(1 + 0 ),
C C
t0
即
Z t
C + v(t) ≤[C + K(t − t0)] exp( f(τ)dτ),
t0
再由(1)得:
Z t
x(t) ≤ C + v(t) ≤[C +