文档介绍：1
习题
3. 设µ > 0, b > 0, p, q 均为正整数且 q ≥ 2. 给定方程组
dx dy
= 1 −µx − xpyq, = b(xpyq − y),
dt dt
1
作变量变换, 使其定常解(x(t), y(t)) ≡( µ , 0) 对应于新方程组的零解并讨论其稳定性.
1
解: 作变换u = x −µ , v = y,则原方程组变成为
du 1 dv 1
= −µu −(u + )pvq, = b((u + )pvq − v),
dt µ dt µ
其线性部分的系数矩阵为: 0 1
−µ 0
A = @ A
0 −1
1
它的两个特征根−µ, −1均为负实数,(x(t), y(t)) ≡( µ , 0)渐近稳
定。
4. 考虑下列两个方程组
dx
= (A + B(t))x, (1)
dt
dx
= Ax, (2)
dt
其中 A 为常数值矩阵, B(t) 为 t ≥ 0 上的连续矩阵值函数, 且满足条件
Z +∞
|B(t)|dt < ∞,
0
用定理的证明方法证明若(2) 的所有解当 t ≥ 0 时有界, 则(1) 的所有解当 t ≥ 0 时也有界.
证明: 首先因为(1)和(2)都是线性方程组且右边的系数矩阵连续, 因此它们的所有解的最大存在
区间均为t ∈(−∞, +∞).
现在设Φ(t)是方程组(2) 的满足Φ(0) = E的基本解矩阵。由常数变易公式,(1)满足初值条
件x(0) = x0的解为:
Z t
x(t) = Φ(t)x0 + Φ(t −τ)B(τ)x(τ)dτ. (3)
0
由假设,存在常数K > 0,使得当t ≥ 0时,
|Φ(t)| ≤ K,
因此由(3)知当t ≥ 0时,
Z t
|x(t)| ≤ K|x0| + K |B(τ)||x(τ)|dτ.
0
再由Gronwall不等式得:当t ≥ 0时,
Z t
|x(t)| ≤ K|x0| exp(K |B(τ)|dτ).
0
2
由假设,
Z +∞
|B(t)|dt = K˜< ∞,
0
因此当t ≥ 0时,
Z +∞
KK˜
|x(t)| ≤ K|x0| exp(K |B(t)|dt) = K|x0|e < ∞.
0
即(1)的所有解当t ≥ 0时也有界.
6. 设α, β, γ, δ, ² 都是正数, x ≥ 0, y ≥ 0, 求出方程组
dx dy
= −αx + βx2 −γxy, = −δy + ²xy
dt dt
的所有定常解并讨论其稳定性.
解: 求解代数方程组
−αx + βx2 −γxy = 0, −δy + ²xy = 0
得原方程组有三个驻定解:
α
I : (x(t), y(t)) ≡(0, 0), II : (x(t), y(t)) ≡( , 0),
β
δβδα
III : (x(t), y(t)) ≡( , −).
² γ² γ
对驻定解I, 其线性部分的系数矩阵为:
0 1