微积分习题答案 (2).pdf

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习题
3. 将下列方程化为可分离变量方程, 并求解.
dy x−y+1
(2) dx = x+y−3 .
dy x2+y2
(8) dx = xy .
dy
(14) dx = sin(x + y + 1).
解:
(2) 令 x = ξ+ 1, y = η+ 2, 可将原方程变为
dηξ−η
= ,
dξξ+ η
η
令 u = ξ, 则有
du 1 − u
ξ+ u = ,
dξ 1 + u
2 −2
用分离变量法求得其通解为 u + 2u − 1 = C1ξ, 其中 C1 为任意常数. 再由
η y − 2
u = = , ξ= x − 1,
ξ x − 1
代入上式并化简得原方程的通解为
y2 + 2xy − x2 − 6y − 2x = C,
其中 C 为任意常数.
(8) 将原方程改写为
dy x y
= + ,
dx y x
y
令 u = x , 则有
du 1
x + u = + u,
dx u
2 2 y 2 2 2
用分离变量法求得其通解为 u = ln x + C, 将 u 换成 x 得原方程的通解为 y = x (ln x + C),
其中 C 为任意常数.
(14) 令 u = x + y + 1, 则有
du
= 1 + sin u,
dx
用分离变量法求得其通解为 tan u − sec u = x + C, 将 u 换成 x + y + 1 得原方程的通解为
tan(x + y + 1) − sec(x + y + 1) = x + C,
其中 C 为任意常数.
4. 解下列线性微分方程.
dy 2y 5
2
(1) dx − x+1 = (x + 1) .
dy
(6) dx − 2xy = x.
解:
2
5
2 2
(1) 这里 a(x) = x+1 , f(x) = (x + 1) . 从而可求出原方程的通解为
Z
2
y = exp( dx)(C +
x + 1
Z Z
5 2
(x + 1) 2 exp(− dx)dx)
x + 1
2 2 7
= C(x + 1) + (x + 1) 2 ,
3
7
2 2 2
即 y = C(x + 1) + 3 (x + 1) , 其中 C 为任意常数.
(6) 这里 a(x) = 2x, f(x) = x. 从而可求出原方程的通解为
Z Z Z
y = exp(2 xdx)(C + x exp(−2 xdx)dx)
1 2
= −+ Cex ,
2
1 x2
即 y = − 2 + Ce , 其中 C 为任意常数.
6. 求下列初值问题的解.
(2) y(1 + x2)dy = x(1 + y2)dx, y(0) = 1.
y dy 3
(5) e dx − x − x = 0, y(1) = 1.
解:
(2) 这是变量分离的方程, 分离变量后得
y x
dy = dx,
1 + y2 1 + x2
2 2