文档介绍：释疑解惑
第一章实数集与函数
§1 实数
问题1 999 9…表示同一实数?
答因为
==3×=3× 333 3…
= 999 9…,
999 9…表示同一实数. 为了实数的无限十进小数表示的唯一性, 999 9….
问题2 为什么有理数(p,q为互质的整数,q≠0)可以表示为无限十进循环小数?
答不妨设有理数∈(0,1),p<q. 由实数的阿基米德性可知:存在和,使得
10p=q+,0≤≤9,0≤≤q-1,
(注:对10p,q,(i)若10p<q,则=0,=10p;(ii)若10p=q,则=1,=0;(iii)若10p>q,由实数的阿基米德性,存在正整数,0<≤9,使得(+1)q>10p,q≤10p,于是=10p-q.)于是
,0≤<
同样成立
10=q+,0≤≤9,0≤≤q-1,
于是
,0≤<,
重复以上步骤可得
…………()
,0≤≤9,0≤≤q-1,
于是有
,0≤<,
这样
=0. .
因为上述各式中的余数为{0,1,2,…,q-1}中某数,于是等式组()从某个n开始重复,即是无限十进循环小数.
§2 数集·确界原理
问题1 非空有界数集S的上确界是否是S中的最大数?下确界是否是S中的最小数?在什么情况下,非空有界数集的上确保是最大数,下确界是最小数?
答如果一个数集S的最大(小)数存在,则它就是S的上(下)确界,有限数集必有最大(小)数,故有限数集必有上(下)确界. 而无限集S的上(下)确界就不一定是S的最大(小)数. 例如数集
,
可证
sup S=1, inf S=-1.
先证sup S=1,注意到n=2k,且n充分大时,(-1)
(i)n,≤1;
(ii)>0,当
同理可证inf S=- S,inf S关不是S的最大、最小数.
若非空有界数集S的上确界sup SS,则sup S是最大数;若S的下确界inf SS,则inf S是最小数. 故对于有界无限数蒋来说,其上(下)确界可以看作最大(小)数的推广.
问题2 怎样给出无下界数集和无界数集的正面了陈述?
答无下界集:设数集SR,若,,使得x<L,则称S是无下界集.
无界集:设数集SR,若>0,,使得|x|>M,则称S是无界集.
例如,S=是无下界集. 这是因为,=
比较有界集与无界集的定义,把有界集定义中“>0”换成“>0”;“”换成“
”;不等式“|x|≤M”换成“|x|>M”,即可得无界集的正面陈述. 无上界集的含义是任何M都不是数集的上界. 把数学形式的陈述与其直观意义结合在一起理解,有利于掌握否定形式的陈述.
问题3 怎样给出数不是数集S的上确界的正面陈述?
答若不是数集S的上确界,则或者不是S的上界,或者是S的上界,但不是最小上界. 于是数不是数集S的上确界的正面陈述为:
(i),使得>;或者
(ii)<,,x≤.
§3 函数概念
问题1 设狄利克雷函数
1, x为有理数,
f(x)=
0, x为无理数,
g(x)=,|x|>1,试问复合函数fºg和gºf是否存在?
答设有两函数
y=f(u),uD,u=g(x),xE,
记E*={x|g(x)D}∩E,若E*≠Ø,则f与g可以复合成函数
y=f(g(x)),x E*.
1,u为有理数,
(1)对f(u)= D=R,g(x)=,|x|>1,E={x||x|>1},有E*={x|g(x)D}∩E=E≠Ø,
u为无理数,
于是f与g可以复合成fºg,其定义域为E.
(2)对g(u)=,D={u||u|>1},
1, x为有理数,
f(x)= E=R
0, x为无理数,
E*={x|f(x)D}∩E=Ø,
于是g与f不能复合为gºf.
问题2 等式arcsin(sinx)=x,xR是否正确?若不正确,它与,xD(其中是f的反函数)是否有矛盾?
答,等式arcsin(sin x)=x是错误的. 这是因为arcsin y是反正弦函数的主值,
≤arcsiny≤,arcsin(sinx)的值应当取在[,]上.
当
于是
这与,xD并不矛盾. 这是因为定义反函数时,,规定D中有且仅有一个x使得f(x) = y;但现在是,有无限多个xR,使得sinx = y. 如果把x的取值限制在[,]上,则等式
arcsin(sinx) = x,x[,]是正确的。
§4 具有某些特性的函数
问题1 怎样给出数集D上无上(下)界函数和无界函数的正面陈述?
答在D上无上界函数f(x)的定义如下:
,,使得>M;
在D上无下