概率论与数理统计CHAPTER (2).ppt

文档介绍：第2章随机向量


1. n 维随机向量
以 n 个随机变量 X1,X2,…,Xn 为分量的向量
X=(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量。
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。
2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布
定义如果二维随机向量(X,Y)的全部取值数对为有限个或至多可列个,则称随机向量(X,Y)为离散型的。
易见,二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y分别都是一维离散型的。

称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:
X
x1
x2
…
x i
…
y1 y2 … y j …
p11 p12 … p1j …
p21 p22 … p2j …
……………
pi1 pi2 … p i j …
……………
Y
③P{(X,Y)∈D } =
联合概率分布性质
① pij≥0 ;i,j=1,2,…
②∑∑pij = 1;
联合概率分布
(1) 定义随机向量X=(X1,X2,…,Xn)中每一个Xi的分布,称为X关于Xi的边缘分布。
(2) 边缘分布列
对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。
若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
P(X=xi)=
(i=1,2,...)
同理
一般地,记:
P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
(j=1,2,...)
概率分布表如下:
边缘概率分布
X
Y
.
将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.
解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:
X Y
0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
P(X=0,Y=4)=
P(X=2,Y=2)=
=1/4
=6/16
P(X=3,Y=1)=
=1/4
P(X=4,Y=0)= =1/16
X
0
1
2
3
4
Y 0 1 2 3 4
联合概率分布表为:
0 0 0 0 1/16
0 0 0 1/4 0
0 0 6/16 0 0
0 1/4 0 0 0
1/16 0 0 0 0
P(X=1,Y=3)=
=1/16
联合概率分布表为超级联接
设随机变量Y~N(0,1),令
解(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)
=P(|Y|≥2)
=1-P(|Y|<2)
=2-2Φ(2)=
P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)
=P(1≤|Y|<2)
=P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2)
=2P(1≤Y<2)
=2[Φ(2)-Φ(1)]
=
P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)
=0
P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)
=P(|Y|<1)
=2Φ(1)-1
=
联合概率分布表为:
X1
0
1
X2 0 1

0
求(X1,X2)的联合概率分布。
二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
X
-1
0
1
Y 0 1 2


a
求:(1)常数a的取值;
(2)P(X≥0,Y≤1);
(3) P(X≤1,Y≤1)
解(1)由∑pij=1得: a=
(2)由P{(X,Y)∈D}=
得 P(X≥0,Y≤1)=
P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)
=+++
=
(3)P(X≤1,Y≤1)
=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)
=
结合下页概率分布图
X
Y
二维随机向量区域概率图:
-1
0
1
2
1
P{X≥0,Y≤1}
P(X≤1,Y≤1}
设(X,Y)的联合概率分布为:
X
-1
0
1