文档介绍：第11章函数插值与最小二乘拟合
插值的基本概念
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,已知它在[a,b]上n+1 个互不相同的点x0、x1、x2、…、xn处的函数值为y0、y1、y2、…、yn。如果多项式P(x)在点xk上满足P(xk)=yk (k=0,1,2,…,n),则称P(x)是函数y=f(x)的插值多项式,xk称为插值点,包含插值节点的区间[a,b]叫插值区间,函数y=f(x)叫做被插值函数。
在区间[a,b]上用多项式P(x)逼近函数y=f(x),在插值点xk上有f(xk)= P(xk),此外在其它点上都可能有误差,记误差项为R(x),R(x)=f(x)-P(x),R(x)是插值多项式的余项,表示用P(x)近似f(x)的截断误差大小。一般地,|R(x)|越小,近似程度就越好。P(x)=A0+A1x+A2x2+……。
二、拉格朗日插值多项式
已知函数f(x)在区间[x0,x1]两端点上对应的函数值分别为y0=f(x0),y1=f(x1)即已知点(x0,y0) 与(x1,y1),试求x对应的函数y值。用图示的直线来作近似,其直线方程为:
上式可变形为:
线性插值多项式P1(x)是由两个关于x的线性函数、的线性组合,其中、称为线性插值基函数,其系数分别是函数值y0和y1,即线性插值函数可写为:,其中、在节点上的函数值为:
=1,=0;=0,=1
例1:求lg12的近似值
解:已知y=lgx的值为(10,1),(20,)即x0=10,y0=1,x1=20,y1=
则有:=1×+×
=+
当x=12时,有
y(12)=×12+=
已知三点(x0, y0),(x1, y1), (x2, y2),试求x对应的函数y值,即二次插值多项式(用一条抛物线逼近函数y=f(x)):y=P2(x)=A0+A1x+A2x2
y=P2(x)=y0l0(x)+y1l1 (x)+y2l2(x)
其中基函数为:
满足:(1)它们都是二次函数;
(2)=1, =0, =0;=0,=1,=0;
=0,=0,=1。
例2:已知下表,试用二次插值计算f()
解:,故应取11,12,13三点作二次插值.
先作插值基函数:
已知x0=11,y0=,x1=12,y0= ,x2=13,y2=
P2(x)=
f()»P2()=
=
已知(x0, y0),(x1, y1),(x2, y2)……(xn, yn),试求x对应的函数y值:
用n次多项式(也有可能是不超过n次的多项式):
Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)=
逼近函数f(x),即f(x)»Pn(x),且满足Pn(xk)=yk(k=0,1,2…,n),其中基函数:
(i=0,1,2,…,n)
Pn(x)是n+1基函数的线性组合。
当n=1时,为线性插值多项式:P1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)
其中基函数,
当n=2时,就是二次插值多项式P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)
其中基函数:
拉格朗日插值多项式的余项(又称截断误差)为
其中,
注意:过n+1个互异节点,所得插值多项式应该是次数不超过n的多项式.
:
(1)写出已知的插值节点(xk,yk)形式;
(2)由节点写出相应的基函数;
(3)根据公式写出拉格朗日插值多项式;
(4)将所求的点的值代入到多项式中,求得近似值。
例3:设函数y=f(x)和函数值f(-2)=6,f(-1)=0,f(0)=2,f(1)=0,f(2)=6,试求以x=―2,―1,0,1,2为节点的拉格朗日插值多项式。
解:已知x0=-2,y0=6;x1=-1,y1=0;x2=0,y2=2;x3=1,y3=0;x4=2,y4=6。
因为y1=y3=0,故不用计算l1(x),l3(x)。
同理
所求插值多项式为
++
=
=
例4:已知函数y=f(x)的观察数据为
xk
-2
0
4
5
yk
5
1
-3
1
试构造拉格朗日插值多项式Pn (x),并计算P3(-1)。
解先构造基函数
所求三次多项式为:
P3(x)==+-
+=
P3(-1)=
二、均差与牛顿插值多项式
函数值之差与自变量之差的商就是均差。
已知函数y=f(x)在n+1个互异节点x0,x1,x2,…,xn处的函数值为f(x0),f(x