文档介绍：第11章参数估计典型例题与综合练习
一、典型例题

例1已知总体,样本容量,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.
,若设是来自正态总体的一组样本,则样本均值
解:因为总体 ,样本容量,则样本均值
故所求概率为
==2()=2(1-)=
由于,,故即.
由于,所以

例1设正态总体中未知,已知,又设是来自正态总体的一个样本,问下列样本函数中哪个是统计量?在统计量中,哪些是的无偏估计?哪个是最佳无偏估计?
(1);(2);(3);(4);(5)
统计量是样本函数,其中不应含有未知参数,,.
解:①根据统计量的概念可知,(1)、(3)、(4)、(5)都是统计量.
(由于(1)、(3)、(4)、(5)中都不含有未知参数,故他们都是统计量.)
②求无偏估计量
=
(计算统计量的期望,看是否满足.)

)===
(每次试验均取最小值)
从上述计算可知(1)、(3)是无偏估计.
③求最佳无偏估计量

所以(1)是最佳无偏估计量(当然这是在所给的几个统计量中比较而得到的).
(计算所有无偏估计量的方差,其中最小者即为最佳无偏估计量.)
例2设总体X的概率密度为,其中
是未知参数,是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.
矩估计法是依据“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则,建立总体矩与相应样本矩之间的等式关系,从中求出参数估计量的方法.
极大似然估计法就是指似然函数
在处取得最大值.
解(1)用矩估计法求的估计量(总体的一阶原点矩是期望,二阶中心矩是方差.)
由于总体的一阶原点矩为
样本的一阶原点矩为
令,得,从中解出
是的矩估计量.
(2)用极大似然估计法求的估计量(由于似然函数与其对数具有相同的极大值点,而似然函数的对数函数的极值一般比较容易求出,故常常采用对似然函数取对数的方法求极大似然估计)
似然函数=
两边取对数,得
求导数
令,得
从中解出
是的极大似然估计.

例1设来自正态总体~的样本值:、、、、、、、、
试求(1)已知;(2).
对正态总体的未知参数进行区间估计时,方差已知和未知的情况下,所选取的统计量是不同的,因此服从的分布也是不同的,从而得到的置信区间也是不同的.
解:计算得样本均值,
,所以.
(1)这是已知方差,对均值的区间估计问题.
查正态分布数值表求临界值,
,=
因  -=-×=
+=+×=
[,].
(已知方差时,[-,+].)
(2)这是未知方差,对均值的区间估计问题.
    查自由度为n-1=8,的t分布表得到临界值=
计算样本标准差得