文档介绍：第14章常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法的基本思想:
求解如下形式的一阶常微分方程:

只有少数具有较简单形式的微分方程才能求出其精确的解析解(解析表达式表示的解)。在实际问题中往往不能求出常微分方程精确的解析解,因此只能利用数值方法来求出微分方程的解在某些点上的近似值,通常称为数值解法。
在上述初值问题解的存在区间[a,b]内,求它在一系列节点:
a=x0<x1<x2<x3…<xn=b
上的近似值yk,即yk≈y(xk)(k=1,2,3,…,n),h=xk+1-xk(k=0,1,2,…,n-1)称为步长,一般取h为常数(取等距节点)。
欧拉法和改进欧拉法

设一阶常微分方程的初值问题:
求微分方程根的几何意义:寻找一条经过点(x0,y0)的平面曲线y=y(x),这条曲线在点(x,y)处的切线斜率是f(x,y)。
欧拉折线法的几何意义:用一系列折线来逼近所求的曲线。
x
y
作法:过点(x0,y0)以f(x0,y0)为斜率作切线,其方程为:

当x=x1时,切线的值记为y1,以y1作为y(x1)的近似值,即y(x1)≈y1,再过点(x1,y1)以f(x1,y1)为斜率作切线,其方程为:
重复以上做法,可得到切线的公式为:
当x=xn+1时,得到y(xn+1)的一个近似值
当所取的节点xk为等距时,有:步长为h=xk+1-xk
欧拉公式:

使用欧拉公式求解一阶常微分方程初值问题近似解的方法称为欧拉法(或欧拉折线法)。
解题步骤:先明确所给的条件中的已知点(x0,y0),步长h,以及所给出的f(x,y),再套用欧拉公式中的递推公式,依次求出y1,y2,y3…。
例1:取步长h=, 用欧拉法求解初值问题
的计算公式
解:已知x0=1,y1=1;h=;xk=1+
欧拉公式

此处,迭代公式为:
例2:用欧拉法求初值问题
在x=,,,…,。
解:已知f(x,y)= , x0=0 , y0=1 , 取等步长h=,n=10
由欧拉公式得
=yk+×()
xk=x0+kh=
(k=0,1,2,……,9)
依次求出解在各点的近似值,把计算过程列表(数值计算表)。
欧拉法的局部截断误差:
对应于节点xk+1处的精确解为y(xk+1),yk+1是用欧拉公式得到的近似解,则称y(xk+1)-yk+1为欧拉公式的局部截断误差。欧拉公式的局部截断误差是O(h2),表示与h2是同阶无穷小量,即称欧拉法具有一阶精度。
例3:用欧拉法解初值问题,取步长h=.
解:h=, =-y-xy2,n=3,xk=;
首先建立欧拉迭代格式:

当k=0,x1=,已知x0=0,y0=1,有
y()»y1=×1(4-0×1)=
当k=1,x2=,已知x1=, y1=,有
y()»y2=××(4-×)= 4
当k=2,x3=,已知x2=,y2=,有
y()»y3=××(4-×)=

在初值问题中,对方