第8章 广义函数与基本解.ppt

文档介绍：第8章广义函数与基本解
基本空间
引言
偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高,这不仅
仅常常不合实际问题的要求,而且影响理论的进一步发展。
我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这
首先需要扩充函数地概念。
Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但
是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用范围,从而需要扩充函数的概念。
当物理学家Dirac为了量子力学的需要引入函数时, 数学和物理的紧密关系便出现了裂痕。
第8章广义函数与基本解
物理学家原本定义的函数是这样的“函数”:

。
第8章广义函数与基本解
物理学家在20世纪30年代就广泛使用函数讨论问题,并获得相当的成功。直到20世纪40年代末,Schwarz等人建立了广义函数基础理论,才为这类奇异“函数”建立了严格的数学理论。仅从以上三个方面看,扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的定义。
第8章广义函数与基本解
基本空间
引言
第8章广义函数与基本解
记号
第8章广义函数与基本解
基本空间和

首先考虑的基本空间是即具有紧支集的无限次可微函数组成的空间。所谓一个函数 f(x) 的支集,是指集合的闭包,记作在中定义收敛概念如下:
第8章广义函数与基本解
第8章广义函数与基本解
附注易知中的收敛性比中的收敛性强,反之未必对。,并定义

易证。