文档介绍：第一讲整体与部分2
姚正安
§ 左、右极限
本节我们讨论单变量实函数的左右极限,左右连续和左右导数等问题,也就是把整体问题分成两个部分问题来讨论。
问题 存在的充要条件是与存在并且相等.
分析:,部分正确,则可"拼"、右极限的概念.
证明:必要性显然,,从而对任给的,存在和,
当时, ①
当-时, ②
取时,当时,则和二者必居其一,从而满足①或②,所以
.
问题函数在点连续的充要条件是左连续且右连续.
证明:,右连续即为,用问题即可证.
同理我们可证单变量实函数在可导的充要条件是在点的左、右导数存在且相等.
问题对任给的, (为常数),且在某点右连续,则在中连续.
分析:我们仅须证明在某点连续,然后利用已知条件,证明在所有点上连续.
证明:设,而,得,
,,得
,所以,.
由,
,
令,得,从而.
,对取极限,注意,即得
.
,在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化,下面我们来讨论这方面的问题.
问题海涅()定理:存在的充分必要条件是对任给的序列,若满足(),则有存在.
分析:,抽取子序列.
证明:设,则对任给的,存在,当时, ①
设(),则存在,当时,,从而满足①,
即,亦即.
下证充分性(1) 先证若(),,则
.
取则,从而
存在且
.
于是对任给的序列,若(),则存在且极限值与的选取无关,记为.
(2) 证明(反证法),若,则有,对任给的,总有满足且使得.
取,则有满足,使得
取,则有满足,使得
,
……
取,则有满足,使得
,
……
由此可以找到满足(),且
,
即时,这与(1)之证矛盾.
问题设,则存在的充分必要条件是.
分析:注意,同时也有.
证明:设存在,则由柯西()收敛准则,对任给的,存在,当,且时,,由此,注意当时,,,设,则对任给的,存在,,由此,时,.
问题存在的充要条件是(下极限)与此同时(上极限)存在且相等.
分析:注意,.
证明:设,则对任给的,存在,有,
当时,注意到上、下极限的定义,则有
.
由的任意性即得.
反之,设,则有,从而由由问题得证.
问题单变量实函数在点连续的充要条件是在点上连续且下连续.
证明:注意上连续即为=,下连续即为=,再由问题即可得证.
仿问题的证明方法,我们可证
问题存在的充要条件是对任给的满足条件>,的序列存在;存在的充要条件是对任给的满足条件<,的序列有存在.
问题设对一切满足等式,且在右连续,在连续,则在上恒为常数.
证明:由,从而为偶函数,仅须证在[上连续.
在[上=,取,则,所以我们不妨设,则对任给的,有
…,
由,得,从而用问题的结论和在点的连续性可知.
又在右连续,于是,所以在[上连续,从而在上边疆且恒为常数.
以下介绍连续变量离散化方法,,前面的海涅