文档介绍：如果积分区域为:
[X-型]
其中函数、在区间上连续.
二重积分的计算法(1)
一、利用直角坐标系计算二重积分
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
得
如果积分区域为:
[Y-型]
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图,
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
注
ⅰ)二重积分化累次积分的步骤
①画域,②选序,③定限
ⅱ)累次积分中积分的上限不小于下限
ⅲ)二重积分化累次积分定限是关键,积分限要根据积分区域的形状来确定,这首先要画好区域的草图,——画好围成D的几条边界线,
若是X—型,
就先 y 后 x
若是Y—型,就先 x 后 y ,
注意内层积分限是外层积分变量的函数,外层积分限是常数。
解
积分区域如图
解
积分区域如图
例3 计算
D
解一
D:
X—型
D
解二
D
Y—型
例4 计算
解
D
Y—型
I =
若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式, 须分片积分,计算较麻烦。
2
1
2
1
由以上两例可见,为了使二重积分的计算较为方便,究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定,在积分区域的表达式中选取比较简单的一组,从而确定相应的公式,同时还要兼顾被积函数的特点,看被积函数对哪一个变量较容易积分,总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。
例5 计算
解
D是X—型区域
要分部积分,不易计算
若先 x 后 y 则须分片
易见尽管须分片积分,但由于被积函数的特点,积分相对而言也较方便。
解
D