文档介绍：分部积分法
前面我们在复合函数微分法的基础上,得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法——分部积分法,它是两个函数乘积的微分法则的逆转。
问题
解决思路
利用两个函数乘积的求导法则.
分部积分公式
一、基本内容
注
分部积分公式的特点:等式两边 u,v 互换位置
分部积分公式的作用:当左边的积分
不易求得,而右边的积分
容易求得
利用分部积分公式——化难为易
例1 求积分
解(一)
令
显然, 选择不当,积分更难进行.
解(二)
令
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v
一般来说, u,v 选取的原则是:
(1)积分容易者选为v
(2)求导简单者选为u
分部积分法的实质是:将所求积分化为两个积分
之差,积分容易者先积分。实际上是两次积分。
例2 求积分
解
(再次使用分部积分法)
总结
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分
解
令
若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个:容易积分。
例4 求积分
解
总结
例5 求积分
解
注:本题也可令
分部积分过程中出现循环,实质上是得到待求积分
的代数方程,移项即可求得所求积分。注意最后一
定要加上积分常数C
例6 求积分
解
注意循环形式
例7
解
例8