文档介绍：不定积分的概念和性质
前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学
技术领域中,还会遇到与此相反的问题:即寻求一个可导函数,使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。
本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念
然后介绍其性质,最后着重系统地介绍积分方法。
重点
原函数与不定积分的概念
基本积分公式
换元积分法
分部积分法
有理函数积分
难点
换元积分
分部积分
有理函数积分
基本要求
①正确理解原函数和不定积分概念
②熟记基本积分公式
③熟练地运用换元积分法和分部积分法
④会用待定系数法求有理函数积分
⑤会用万能代换和三角代换求三角有理式积分
⑥会求简单无理函数的积分
例
定义:
一、原函数与不定积分的概念
对原函数的研究须讨论解决以下两个问题
(1) 是否任何一个函数都存在原函数?
考察如下的例子
若存在可导函数
则由
的定义
关于原函数的说明:
(左、右极限存在且相等)
而已知
矛盾
这说明
没有原函数
既然不是每一个函数都有原函数,那么我们自然
要问:具备什么条件的函数才有原函数?对此我们
给出如下的结论:
原函数存在定理:
简言之:连续函数一定有原函数.
(证明待下章给出)
(2)原函数是否唯一?若不唯一,它们之间有
什么联系?
①若,则对于任意常数,
②若和都是的原函数,
则
( 为任意常数)
证
( 为任意常数)
任意常数
积分号
被积函数
不定积分的定义:
被积表达式
积分变量
为求不定积分,只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可
例1 求
解
解
例2 求
例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
解
设曲线方程为
根据题意知
由曲线通过点(1,2)
所求曲线方程为