文档介绍：换元积分法
直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的
不定积分是非常有限的,为了求出更多的积分,需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。
在微分学中,复合函数的微分法是一种重要的
方法,不定积分作为微分法的逆运算,也有相应的方法。利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后,把换元法分成第一类换元和第二类换元。
问题
?
解决方法
利用复合函数,设置中间变量.
过程
令
一、第一类换元法
说明结果正确
将上例的解法一般化:
设
则
如果
(可微)
将上述作法总结成定理,使之合法化,可得
——换元法积分公式
第一类换元公式(凑微分法)
说明
使用此公式的关键在于将
化为
观察重点不同,所得结论不同.
定理1
注
①
定理说明:若已知
则
因此该定理的意义就在于把
中的
换成另一个
的可微函数
后,式子仍成立
——又称为积分的形式不变性
这样一来,可使基本积分表中的积分公式
的适用范围变得更加广泛。
②由定理可见,虽然
是一整体记号,但可把
视为自变量微分
——凑微分
③凑微分法就在凑微分上,其基本思想就是对被积
表达式进行变形,主要考虑如何变化
凑微分法的基本思路:
与基本积分公式相比较,将不同的部分——
中间变量和积分变量——变成相同
步骤:凑微分;换元求出积分;回代原变量
例1 求
解(一)
解(二)
解(三)
例2 求
解
一般地
例3 求
解
例4 求
解
例5
解
例6 求
解