文档介绍：第一章行列式
一. 填空题
1. 四阶行列式中带有负号且包含 a12 和 a21 的项为______.
解. a12a21a33a44 中行标的排列为 1234, 逆序为 0; 列标排列为 2134, 逆序为 1. 该项符号为
“-”, 所以答案为 a12a21a33a44.
2. 排列 i1i2…in 可经______次对换后变为排列 inin-1…i2i1.
解. 排列 i1i2…in 可经过 1 + 2 + …+ (n-1) = n(n-1)/2 次对换后变成排列 inin-1…i2i1.
(15423)(23145)
3. 在五阶行列式中(1) a12 a53a 41a24 a35 =______ a12 a53a 41a24 a 35 .
解. 15423 的逆序为 5, 23145 的逆序为 2, 所以该项的符号为“-”.
4. 在函数
2x 1 1
f (x) x x x 中, x3 的系数是______.
1 2 x
x x
解. x3 的系数只要考察 2x 2x 3 4x2 . 所以 x3 前的系数为 2.
2 x
a b 0
5. 设 a, b 为实数, 则当 a = ______, 且 b = ______时, b a 0 0 .
1 0 1
a b 0
a b
解. b a 0 1 (a 2 b2 ) 0 . 所以 a = b = 0.
b a
1 0 1
6. 在 n 阶行列式 D = |aij|中, 当 i < j 时 aij = 0 (i, j =1, 2, …, n), 则 D = ______.
a11 0  0
a a  0
解. 21 22 a a a
 11 22 nn
a n1 an2  0
A1 
7. 设 A 为 3×3 矩阵, |A| =-2, 把 A 按行分块为 A A , 其中 A (j = 1, 2, 3)是 A 的第 j 行,
 2  j
A3 
A3 2A1
则行列式 3A2 ______.
A1
1
A3 2A1 A3 2 A1 A1
解. 3A2 3 A2 3 A2 3 | A |6 .
A1 A1 A3

1 5 1 3
1 1 3 4
1. 设| A |
1 1 2 3
2 2 3 4
计算 A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中 A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素 a4j 的代数余子式.
1 5 1 3 1 6 0 2
6 0 2
1 1 3 4 1 0 2 3 41
解. A41 + A42 + A43 + A44 (1) 0 2 3
1 1 2 3 1 0 1 2
0 1 2
1 1 1 1 1 0 0 0
6 0 2
=1 0 2 3 6
1
0 0
2
2. 计算元素为 aij = | i-j|的 n 阶行列式.
0 1  n 1 0 1  n 1
1 0  n 2 1 1 1
解. | A |由最后一行起,每行减前一行

n 1 n 2  0 1 1 1
n 1 n  n 1
0 2 1
每列加第n列(1)n12 n2 (n 1)
 0 2
0 0  0 1
x1 1 x1 2  x1 n
x 1 x 2  x n
3. 计算 n 阶行列式 D  2 2 2 (n 2).
n 
xn 1 xn 2  xn n
解. 当 n 2
2
x1 x1 2  x1 n 1 x1 2  x1 n
x x 2  x n 1 x 2  x n
D  2 2 2 + 2 2
n 
xn xn 2  xn n 1 xn 2  xn n
x1 x1 x1 3  x1 n x1 2 x1 3  x1 n
x x x 3  x n x 2 x 3  x n
= 2 2 2 2 + 2 2 2

xn xn xn 3  xn n xn 2 xn 3  xn n
1 x1 x1 3  x1 n 1 2 x1 3  x1 n
1 x x 3  x n 1