线性变换的值域与核.ppt

文档介绍：线性变换的值域与核
一引入概念
一引入概念
定义6 A (∈L(V)) 的值域 A V = { Aξ| ξ∈V};A 的
核 A -1(0) = {ξ| Aξ= 0,ξ∈V}.
也将A 的值域和核表示为:
A V = ImA , A -1(0) = KerA .
v
A
V
0
A V
A -1(0)
称dimA V为A 的秩,dimA -1(0) 为A 的零度.
A V , A -1(0) 是 V 的子空间.
证明: 对任意的A α,A β∈A V, A α+A β=
A (α+β),kA α= A (kα)∈A V,且A V非空,故A V是V的子空间.
对任意的α,β∈A -1(0) → A α=A β= 0 →
A (α+β) =A α+A β= 0,A (kα)= kA α= 0 →α+β,kα∈A -1(0) , 且 A -1(0) 非空故A -1(0) 是V的子空间. □
例线性空间 P[x]n 中 D (f (x)) = f /(x). 则 D 的值域为P[x]n-1, D 的核为子空间P.
二. 值域与核的性质
(定理10) A ∈L(V), ε1, ··· ,εn是V的基,且 A 在
该基下的矩阵为A,则
1) A V= A (L(ε1, ···, εn )) = L( A ε1, ···, Aεn );
2) A 的秩= A的秩.
A(L(ε1, ···,εn ))= L(A ε1, ···, A εn )
(定理11) A ∈L(V), dimV=n,则
A 的秩+ A 的零度= n .
(推论) ∈L(V), dinV = n ,则
A 是单射的充要条件为A 是满射
证明思路分析: 分三步完成:
(1) A 是单射的充要条件为 A -1(0) = {0};
(2) A -1(0) = {0}的充要条件为 A V = V;
(3) A V = V 的充要条件为A 是满射.