文档介绍：第七章非线性方程求解
第一节基本问题
非线性方程的根
求 f (x) = 0 的根
代数方程: f (x) = a0 + a1x + . . . + anxn
超越方程: f (x) 含超越函数,如 sin(x), ex, lnx 等
实根与复根
根的重数
f (x) = ( x – x*)m · g(x) 且 g(x*) 0, 则 x* 为 f (x) 的 m 重根
有根区间:[a, b] 上存在 f (x) = 0 的一个实根
在有根的前提下求出方程的近似根。
研究内容:
第二节二分法
若 f C[a, b],且 f (a) · f (b) < 0,则 f 在(a, b) 上必有一根。
基本原理:
具体方法:
通过二等分不断缩小有根区间的长度,直到满足精度为止。
a
b
x1
x2
x*
何时终止?
或
不能保证 x 的精度
算法
算法 (二分法)
给定有根区间[a, b] ( f(a) · f(b) < 0) 和精度要求
1. 令 x = (a+b)/2
2. 如果 b – a < 或 f (x) < , 停机,输出 x
3. 如果 f (a) f (x) < 0 , 则令 b = x,否则令 a = x, 返回第1步
Matlab源程序:
用二分法求根,通常先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。
误差分析
记 a1 = a, b1 = b, 第 k 步的有根区间为[ak, bk]
对于给定的精度,可估计二分法所需的步数 k :
取
简单易用
无法求复根及偶重根
对 f (x) 要求不高,只要连续即可
收敛速度慢
第三节不动点迭代
定理
设(x)C[a, b] 且可导,若
(2) 0 L < 1,使得| ’(x) | L 对 x[a, b] 成立
则函数 f (x) = x - (x) 在[a, b] 中有唯一的零点 x*。
(压缩映像定理,不动点定理)
x* 称为(x) 的不动点
(x*) = x*
(1) a (x) b 对一切 x[a, b] 都成立
简证:
f(a) = a - (a) 0 , f(b) = b - (b) 0
f(x) 在[a, b] 上有零点。
唯一性:反证法,假设存在 x*, y*[a, b] 使得
x* = (x*)
y* = (y*)
矛盾!
(x) 的不动点
第三节不动点迭代
f (x) = 0
x = (x)
等价变换
基本思想
从一个给定的初值 x0 出发,计算 x1 = (x0), x2 = (x1), …
若收敛,即存在 x* 使得,则由的连续性和可得 x* = (x*),即 x* 是的不动点,也就是 f (x) 的零点。
具体做法:
不动点迭代
f (x) 的零点
几何含义:
求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
xk+1 = (xk)
x
y
y = x
x
y
y = x
x
y
y = x
x
y
y = x
x*
x*
x*
x*
y= (x)
y= (x)
y= (x)
y=(x)
x0
p0
x1
p1
x0
p0
x1
p1
x0
p0
x1
p1
x0
p0
x1
p1
x2
举例
例:
已知方程 x3-6x2+9x-2=0 在[3,4] 内有一根,考虑迭代
(1) x = 1(x) = x3-6x2+10x-2 ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
Matlab源程序:
收敛性分析
定理
设(x)C[a, b] 且可导,若
(2) 0 L < 1,使得| ’(x) | L 对 x[a, b] 成立
(1) a (x) b 对一切 x[a, b] 都成立
则有
(a) 对任意 x0[a, b],由 xk+1 = (xk) 产生的迭代序列
均收敛到(x) 在[a, b] 中的唯一不动点 x*。
(b) 有如下的误差估计
可用| x k+1-xk |
来控制收敛精度
L 越小收敛越快