文档介绍：第五章(续)
大学数学
(二)
脚本编写:曾金平刘楚中
课件制作:曾金平刘楚中
欧氏空间
§4
一、平面及其方程
主题:1. 空间平面在直角坐标系的表示法。
2. 空间平面间的关系。
1、平面的点法式方程
几何上,任给空间中某一点,及某一方向,都可且只可做一个过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系.


M0
M
x
z
y
任取平面上一点 M(x, y, z).
O

故
由已知,nM0M,
设:平面过定点 M0(x0, y0, z0) 且垂直于方向 n=(A, B, C).
n
n  M0M=0.
()
(A, B, C)(xx0, yy0, zz0)
= A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)
= 0.
即平面上任意点 M(x, y, z) 都满足方程().
反之若(x, y, z) 满足(),则由().
()
n 与 M0M 垂直. 即 M 在平面上.
我们称垂直于平面的任何非零向量为的法方向或法向,
因此,n 即为之一个法向.
() 依赖于法方向 n 及定点 M(x0, y0, z0). 故()称为平面的法点式方程.
A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0
法点式方程
解:由法点式,得所求平面方程为
2(x 1)+3(y 3) 4(z+2)=0,
2x+3y 4z19=0.
求过点 M0(1, 3, 2) 且以 n=(2, 3, 4) 为法向的平面方程.
即
. 求过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和 M3(0, 2, 3) 的平面方程.
O



x
y
z
M1
M2
M3
从图知,M1, M2, M3 不共线,
即三点不在同一直线
故可唯一确定一平面.
如何验证?
如何求?
解:由于
=(3, 4, 6)(2, 3, 1)
=(14, 9, 1)
0.
故 M1, M2, M3 不共线.
为所求平面之法向.
故得平面方程为:
=14(x2)+9(y+1) (z4)
=14x+9y z15
= 0,
或
=14(x+1)+9(y  3) ( z+2)
=14x+9y-z15
= 0.
(xx1, yy1, zz1)n
(xx2, yy2, zz2)n