文档介绍：2003-2004学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案
一.(本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分).
,令:
,.
⑴试求,,;⑵判断随机事件与是否相互独立?
解:
⑴掷2颗骰子,共有种情况(样本点总数).
事件含有个样本点,故.
事件含有个样本点,故.
事件含有个样本点,故.
⑵由于,所以随机事件与相互独立.

,
求:⑴常数;⑵概率.
解:
⑴由密度函数的性质,得

所以,
.
⑵

.
,方差分别是和,而相关系数为.
⑴求及;⑵试用切比雪夫(Chebyshev)不等式估计概率.
解:
⑴令,则有

⑵根据切比雪夫不等式,有
.
,求.
(附,标准正态分布的分布函数的部分值:
解:
由于总体,而且样本量,所以.
所以,

.
,记,,且与都未知,,.是从总体中抽取的一个样本,求与的矩估计量.
解:

,
将与分别用样本的样本均值与样本的二阶原点矩来替换,得到与的矩估计量为
,
.
二.(本题满分45分,共有5道小题,每道小题9分).
、乙、、乙、丙三人能译出的概率分别为、、.
⑴求密码能被破译的概率.⑵已知密码已经被破译,求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率.
解:
⑴设,,.
.
则,因此,

.
⑵,则
,所以

注意到,所求概率为.
,,并且每位考官判断他通过考试的概率均为,如果至少有位考官判断他通过,,能使得他通过考试的概率较大?
解:
设,则.
.
由于各位考官独立地对他的成绩做出判断,因此考生聘请位考官,,则,因此
, .
⑴若考生聘请位考官,,

.
⑵若考生聘请位考官,,

.
所以聘请位考官,可以使该考生通过考试的概率较大.

⑴.求,及;
⑵.分别求出求与的边缘密度函数;
⑶.判断随机变量与是否相关?是否相互独立?
解:
⑴.

⑵.当时,

所以,随机变量的边缘密度函数为
;
当时,

所以,随机变量的边缘密度函数为
⑶.由于,所以与不相关.
,所以与不独立.
,都服从标准正态分布,令.
⑴用求独立随机变量和的密度函数的计算公式(卷积公式),求出随机变量的密度函数.
⑵判断随机变量是否服从正态分布,并指出与.
解:
随机变量与的密度函数分别为

设随机变量的密度函数为,则有