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文档介绍：Ch 13 多元函数的极限与连续
计划课时: 8 时
P 127 — 143
200. .

Ch 13 多元函数的极限与连续( 8 时)
§ 1 平面点集与多元函数
一、平面点集: 平面点集的表示: = yxyxE ),(|),{( 满足的条件}. 余集 E c .
:
⑴全平面和半平面: xyx ≥}0|),{( , xyx > }0|),{( ,
> axyx }|),{( , +≥ baxyyx }|),{( 等.
⑵矩形域: × dcba ],[],[ , yxyx ≤+ 1||||),{( }.
⑶圆域: 开圆, 闭圆, . 极坐标表示, 特别是
θ≤ arr θ}cos2|),{( 和θ≤ arr θ}sin2|),{( .
⑷角域: r θα≤θ≤β}|),{( .
⑸简单域: X −型域和Y −型域.
邻域: 圆邻域和方邻域,圆邻域内有方邻域,方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域,
空心方邻域与集 xxyx 0 ||0|),{( <−< δ, < − yy 0 < δ}||0 的区别.
二、点集拓扑的基本概念:
1 .内点、外点和界点:集合 E 的全体内点集表示为 int E , 边界表示为∂E .
集合的内点∈ E , 外点∉ E , 界点不定.
例 1 确定集= { 2 yxyxE 2 <++−< 1)2()1(0|),( } 的内点、外点集和边界.
例 2 = { ≤≤)(0|),( , xxDyyxE ∈[ 0 , 1 ] } , xD )( 为 Dirichlet 函数. 确定集 E 的
内点、外点和界点集.
2. ( 以凝聚程度分为) 聚点和孤立点: 孤立点必为界点.
1
例3 = { yxE |),( y = sin } . 确定集 E 的聚点集.
x
解 E 的聚点集 E [ −∪= 1 , 1 ] .
3. ( 以包含不包含边界分为) 开集和闭集: int E = E 时称 E 为开集, E 的聚点集
⊂ E 时称 E 为闭集. 存在非开非闭集. R 2 和空集φ为既开又闭集.
( 以连通性分为) 开区域、闭区域、区域:以上常见平面点集均为区域.
4. 有界集与无界集:
5. 点集的直径Ed )( : 两点的距离ρ( , PP 21 ) .
6. 三角不等式:
2 2
− xx 21 || (或− yy 21 || ) 21 21 )()( 21 −+−≤−+−≤ yyxxyyxx 21 |||| .
三. 点列的极限: 设= ( , yxP nnn ) , = ( , yxP 000 ) .
定义 lim n = PP 0 的定义( 用邻域语言) .
n ∞→
例4 ( , yx nn ) →( , yx 00 ) ⇔ n → xx 0 , n → yy 0 , ( n →∞) .
例5 设P0 为点集 E 的一个聚点. 则存在 E 中的点列{ Pn } , 使 lim n = PP 0 .
n ∞→
四. R 2 中的完备性定理:
1. Cauchy 收敛准则:
先证{( , yx nn ) }