Ch 19 重积分的计算及应用.pdf

文档介绍：Ch 2 0 重积分的计算及应用
计划课时: 1 2 时
P 254—294
2005. 09 .26.


Ch 20 重积分的计算及应用( 1 2 时)
§ 0 二重积分概念( 2 时)
一、矩形域上的二重积分: 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割.
定义二重积分.
例 1 用定义计算二重积分∫∫ 2 ydx σ.
]1,0;1,0[
i j
用直线网 x , y , ≤≤== nji ),1( 分割该正方形, 在每个正方形上取其右
n n
上顶点为介点.
2
n n ⎛ i ⎞ j 11 1 n n
解= lim ⎜⎟=⋅⋅⋅ lim 2 ji =
∫∫ n ∞→∑∑ n ∞→ 5 ∑∑
D i==11j ⎝ n ⎠ nnn n i==11j
n n 11 nn + )1( 1
lim 2 ji lim nnn )12)(1( ⋅++⋅=⋅= = .
n ∞→∑∑ n ∞→ 5
i=1 j=1 n 6 2 6
二. 可积条件: D = [ , ; , dcba ] . 大和与小和.
−
Th 1 ∈ DRf )( , ⇔= ∫∫.
DD
−−
Th 2 ∈ DRf )( , ⇔ε 0 , T, ∑ ii <Δ∋∃>∀εσω.
Th 3 f 在 D 上连续, ⇒ f 在 D 上可积.
Th 4 设[α, β⊂[] , ba ] , ϕ: [ α, β] → R 为[α, β] 上的可积函数.
= { = ϕ)(|),( , xxyyxE [ α, β]} ⊂∈ D,
( 或= { = ϕ)(|),( , yyxyxE [ λ, μ[] , dc ]} ⊂⊂∈ D ) . 若f 在 D 上有界,
且在 D \ E 上连续, 则f 在 D 上可积.
三、一般域上的二重积分:
: 一般域上的二重积分.
: 用特征函数定义.
例 2 (不可求面积图形的例)
四、二重积分的性质:
性质 1 ∫∫= fkkf .
DD
性质 2 关于函数可加性.
性质 3 1 ∩ intint 2 = φ, ∪= DDDDD 21 . 则f 在 D 上可积⇔ f 在 D1
和D 可积, 且+= .
2 ∫∫∫
1 DDD 2
性质 4 关于函数单调性.
性质 5 ∫∫|| ≤ ff || .
DD
性质 6 , ∫Δ≤≤Δ⇒≤≤ DMfDmMfm .
D
性质 7 中值定理.
Th 若区域 D 的边界是由有限条连续曲线( = ϕ)( , ∈ baxxy ],[ 或
= ψ)( , ∈ dcyyx ],[ )组成, f 在 D 上连续, 则f 在 D 上可积.
例 3 去掉积分∫∫ 2 −|| dxdyyx 中的绝对值.
]1,0;1,0[

§ 1 二重积分的计算( 6 时)
一. 化二重积分为累次积分:
[ , ] ×= [ , dcbaD ] 上的二重积分:
用“体积为幂在势上的积分”推导公式. 一般结果.
例 3 ∫∫+ )( 2 dxdyyx .
× ]1,0[]1,0[
例 4