Ch 20 曲线积分与曲面积分的计算.pdf

文档介绍：Ch 21 曲线积分与曲面积分的计算
计划课时:12 时
P 296—334
2005. .


Ch 21 曲线积分与曲面积分的计算( 12 时)
§ 1 第一型曲线积分的计算(1 时)
设有光滑曲线: = ϕ)( , = ψ tytxL )( , t ∈αβ],[ . yxf ),( 是定义在 L 上
的连续函数. 则
β
),( = ())( , ′2 +ψϕψϕ′2 )()()( dtttttfdsyxf .
∫∫L α
若曲线方程为 L : = ψ)( , ∈ baxxy ],[ , 则
b
),( = () , xxfdsyxf +ψψ′2 )(1)( dxx .
∫∫L a
L 的方程为= ϕ yx )( 时有类似的公式.
例 1 设 L 是半圆周= cos , = sin taytax , 0 ≤ t ≤π.
+ 22 )( dsyx .
∫L
例 2 设 L 是曲线2 = 4xy 上从点O( 0 , 0 ) 到点A( 1 , 2 ) 的一段. 计算第一型曲线分
yds .
∫L
空间曲线 L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线: = ϕ)( , = ψ)( , = χ tztytxL )( ,
t ∈αβ],[ . 函数ϕ)( , ψ)( , χ ttt )( 连续可导, 则对 L 上的连续函数 zyxf ),,( , 有
β
),,( = ())( , )( , ′2 + ′2 + χψϕχψϕ′2 )()()()( dtttttttfdszyxf .
∫∫L α
例 2 计算积分 2dsx , 其中 L 是球面=++ azyx 2222 被平面+ + zyx = 0
∫L
截得的圆周.
解由对称性知, 2dsx = 2 dsy = 2 dsz , ⇒
∫L ∫L ∫L
1 a 2 2
2dsx = ( 222 )dszyx ==++ πads 3 . ( 注意 L 是大圆)
∫L 3 ∫∫LL3 3
Ex P299 1、3、5、7.

§ 2 第一型曲面积分的计算(2 时)
设有光滑曲面: = ),( , ),( ∈ DyxyxzzS . zyxf ),,( 为S 上的连续函数,则
22
),,( = ()1),(,, ++ yx dxdyzzyxzyxfdSzyxf .
∫∫S ∫∫
D
dS
例 4 计算积分, 其中S 是球面=++ azyx 2222 被平面= hz
∫∫S z
<< ah )0( 所截的顶部.
Ex P308.
















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§ 3 第二型曲线积分( 3 时)
一第二型曲线积分的定义:
1. 力场= (),(),( , yxQyxPyxF ),( )沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功:
先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得
∩⋅= dydxFW ),( , 即⋅= dsFW .
∫AB ∫L
2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧)