文档介绍：Ch 21 各种积分间的联系与场论初步
计划课时:8 时
P 335—372
2005. .

Ch 21 各种积分间的联系与场论初步
§ 1 各种积分间的联系
1. Green 公式:
闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理
解为拇指“站立在”区域的正面上), 则其余四指( 弯曲)表示边界的正向. 右手螺旋
定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方
向为边界的正向. 若以 L 记正向边界, 则用—L 或 L −表示反向(或称为负向)边界.
若函数 P 和 Q 在闭区域 D ⊂ R 2 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有
⎛∂Q ∂P ⎞
⎜−⎟dxdy += QdyPdx ,
∫∫⎜⎟∫L
D ⎝∂x ∂y ⎠
其中 L 为区域 D 的正向边界. ( 证) [1]P373
∂∂
Green 公式又可记为∂∂yx dxdy += QdyPdx .
∫∫∫L
D QP
:
对环路积分, 可直接应用 Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路
积分的技巧.
例1 计算积分 xdy , 其中 A( 0 , r) , B ( r , 0 ) . 曲线 AB 为圆周
∫AB
=+ ryx 222 在第一象限中的部分.
π
解法一( 直接计算积分) 曲线 AB 的方程为= cos , = sin , 0 ttrytrx ≤≤.
2
方向为自然方向的反向. 因此
ππ
2 22 1 2 ⎛ 1 ⎞ 2 π 2
−= cos ⎜+−= 2sin ⎟ 0 −= rttrtdtrxdy .
∫∫AB 0 2 ⎝ 2 ⎠ 4
解法二( 用 Green 公式) 补上线段 BO 和 OA ( O 为坐标原点), 成闭路. 设所围区域为
D, 注意到∂ D 为反向, 以及= 0 , 有
∫BOA
π
xdy xdy xdy dxdy −=−=−= r 2 .
∫AB ∫∫∂D BOA ∫∫
D 4
− ydxxdy
例2 计算积分 I = , 其中 L 为任一不包含原点的闭区域 D 的边界(方向任
∫L + yx 22
意)
y x
解 yxP ),( −= , yxQ ),( = . ( P 和 Q 在 D 上有连续的偏导数).
+ yx 22 + yx 22
∂P ∂⎛ y ⎞− xy 22 ∂Q − xy 22
= ⎜−⎟= , = .
⎜ 22 ⎟ 2 222
∂∂xy ⎝+ yx ⎠()+ yx 22 ∂x + yx )(
⎛∂Q ∂P ⎞
于是, I = = ⎜−⎟dxdy = 0 .
L ∫∫∫⎜⎟
D ⎝∂x ∂y ⎠
例 3 验证区域 D 的面积公式
1
|D| −= ydxxdy , L 为 D 的正向边界.
2 ∫L
例 4 计算由星形线= cos3 , = sin 3 ( ttbytax ≤≤ 20 π) 所界的面积.
例 5 计算积分 2 2 ++ )( dyx