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文档介绍：S F 01(数)



Ch 3 函数极限与连续函数



计划课时: 2 6 时



P 21—39




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Ch 3 函数极限与连续函数
§ 1 函数极限( 1 0 时)
一. 时函数的极限:
→ xx 0 xf )(
⎧,12 xx ≠+ ,2
由 xf )( = ⎨考虑x → 2 时的极限引入.
⎩,0 x = .2
定义函数极限的“ε−δ”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例 1 验证= CC .lim
→xx 0
例2 验证= xx 0 .lim
→xx 0
x
例 3 验证 e = 1lim . [1]P71 E1 ( 取δ= + ε)1min{ln( , −−ε)}1ln( )
x→0
2
例 4 验证 x = 4lim . [1]P72 E2
x→2
xx −)1(
例 5 验证 lim . [1]P72 E3
x→1 x 2 −1
23 xxx −+− 933 12
例 6 验证 lim = .
x→3 x 2 − x + 372 5
23 xxx −+− 933 12 2 )3( xx −+ )3( 12
证由 x ≠,3 =−−=
2 xx +− 372 5 )12( xx −−)3( 5
x 2 + 3 12 xx −− 395 xx −− 395
= =−≤.
x −12 5 x −125 x −12
为使 xx x ≤+−≤+−=−,********** 需有 x <−;13
为使 12 xx x >−−≥+−=−,1325562 需有 x <−.23
21
于是, 倘限制 x <−< 130 , 就有
23 xxx −+− 933 12 xx −− 395 x − 311
−≤≤ x −= .311
2 xx +− 372 5 x −12 1
− 0 + xxxx 0
例 7 证明: = sinsinlim xx 0 . ( xx 0 =− sin2sinsin cos )
→xx 0 2 2
二. 单侧极限:

1. 定义: 单侧极限的定义及记法.
几何意义: 回顾半邻域∪+ δ{),( 0 axxa <−≤= δ}, ∪− a δ),( =
0 0
). , (),( ), , (),( ], , ( −δ, aa ], ∪+ δ(),( , aaa += δ), ∪−(),( −= δδ, aaa ). 然后介绍
xf )(lim 等的几何意义
+ .
→xx 0
2
例 8 验证 x =−.01lim
x→1−
2
2 2
证考虑使 1 x <−ε的δ.
例 9 求sgnlim x 和 sgnlim x .
x 0−→ x 0+→
1
例 10 = exf x ,)( 求 f + )00( 和 f −)00( . [1]P79 E8

2. 单侧极限与双侧极限的关系:
Th = ,)(lim ⇔ 0 + = 0 −= AxfxfAxf .)0()0(
→xx 0
类似有: ∞= ,)( ⇔−∞+∞= = AffAf .)()(
2 xx −+ 2
例 11 证明极限 lim 不存在.
x→1 x −1
Ex [1]P84 1⑴―⑷.

三. 函数极限定义的扩充: [1]P80. 几种无穷大量.
22
x
例 12 验证极限 e = 0lim .
x −∞→
1
证ε∈∀( 0 , 1 ), 取 X ln 0 , , 0 eeXx − Xx =<<⇒−<∀>= ε.
ε
x
此即 e = 0lim
x −∞→
2 2 + xx
例 13 验证 lim = .2
x ∞→ x 2 − 2
2 2 + xx x + 4 x >3 x + 4 x >4 2 x 4
证 2 =−≤=≤. ……
x 2 − 2 x 2 − 2 x 2 − 2 x 2 x
2
x 2
例 14 验证极限 lim −∞= .
x 1−→ x −1
x 2 − x 11
证对 G >∀ 0 , 为使−< G , 只要< ;为使
x −1 x 2 G
1 1 1
xx x |1|1|11||| , x |1| <−⇒>−−≥−−= , 又