文档介绍：第四章随机变量的数字特征
Outline
第一节数学期望(或均值)
第二节方差
第三节协方差与相关系数
第四节矩、协方差矩阵
第一节数学期望
以足球比赛为例,某队赢得3分,平得1分,输得0
分。如该队共赛N场,其中a0场赢,a1场平,a2场输,
平均每场比赛得分为
记x0=3,x1=1,x2=0,则上式可写为

当比赛次数N充分大时,

∴当N充分大时,
第一节数学期望
定义:设 X 有分布律为
X x1 x2 … xk …
p p1 p2 … pk …
若,则称是X的均值或期望,

记为。
例1:某人用 n 把钥匙去开门,其中只有一把能开门上
的锁,今逐个任取一把试开,求打开此门所需开
门次数X的均值和 EX2 ,假设1) 打不开的钥匙不
放回;2) 打不开的钥匙仍放回。
第一节数学期望
例1(续)
解:1) 打不开的钥匙不放回,此时所需开门次数X可能取值为
1,2,…,n。因为X=i表明从第一次到第 i-1次均未打开门,第i
次才打开。又每次抽取钥匙是相互独立的,每次试开门上的
锁被打开的概率均为,
∴X的分布律为 X 1 2 3 … n
p …
第一节数学期望
例1(续)
解:2) 由于试开不成功,钥匙仍放回,故有各次抽取钥匙的独立性
可得, k=1,2,…

于是

同理
第一节数学期望
例2:设 X 有分布律为
(a>0),k=0,1,2,…

求:
若 X 是连续型,即存在为 f(x)。当
时,称为 X 的期望(均值),记为。
更一般地,称
为 X 的期望或均值。
第一节数学期望
例3:设,求 EX。
解:∵

∴

令,

上式
第一节数学期望
一般,g(x)=x2,sinx,lnx 等,如何求Y=g(X)的期望,.
或
此外,若Z=g (X, Y)= ,而(X, Y)有二维为
f (x, y),则

若(X, Y)有分布律,
则,
第一节数学期望
例:设,求 EX2。
解:

令, ,
∴

但是

故
特别,当X~N(0,1)