文档介绍：第六节
Green 公式
Gauss 公式
推广
一、高斯公式
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
三、通量与散度
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高斯公式通量与散度
第十章
一、高斯( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域由分片光滑的闭曲
上有连续的一阶偏导数,
下面先证:
函数 P, Q, R 在
面所围成, 的方向取外侧,
则有
(Gauss 公式)
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证明: 设
为XY型区域,
则
定理1 目录上页下页返回结束
所以
若不是 XY–型区域,
则可引进辅助面
将其分割成若干个 XY–型区域,
故上式仍成立.
正反两侧面积分正负抵消,
在辅助面
类似可证
三式相加, 即得所证 Gauss 公式:
定理1 目录上页下页返回结束
例1. 用Gauss 公式计算
其中为柱面
闭域的整个边界曲面的外侧.
解: 这里
利用Gauss 公式, 得
原式=
(用柱坐标)
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
思考: 若改为内侧, 结果有何变化?
若为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
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例2. 利用Gauss 公式计算积分
其中为锥面
解: 作辅助面
取上侧
介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧.
所围区域为,
则
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利用重心公式, 注意
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例3.
设为曲面
取上侧, 求
解:
作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
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在闭区域上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
例4. 设函数
其中是整个边界面的外侧.
分析:
高斯公式
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证:令
由高斯公式得
移项即得所证公式.(见 P171)
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