文档介绍：函数项级数的一致收敛性
*第六节
一、函数项级数的一致收敛性
及一致收敛级数的基本性质
二、一致收敛级数的基本性质
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第十一章
一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,
但一般函数
项级数则不一定有这么好的特点.
例如, 级数
每项在[0,1] 上都连续,
其前 n 项之和为
和函数
该和函数在 x=1 间断.
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因为对任意 x 都有:
所以它的收敛域为(-∞, +∞) ,
但逐项求导后的级数
其一般项不趋于0,
所以对任意 x 都发散.
又如, 函数项级数
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续
和函数连续;
逐项求导= 和函数求导;
逐项积分= 和函数积分
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定义.
设 S(x) 为
若对
都有一个只依赖于的自然数 N ,
使
当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) .
在区间 I 上的和函数,
任意给定的> 0,
显然, 在区间 I 上
一致收敛于和函数S(x)
部分和序列
一致收敛于S(x)
余项
一致收敛于 0
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几何解释: (如图)
当n > N 时,
曲线
总位于曲线
之间.
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例1.
研究级数
在区间[0, +∞) 上的收敛性.
解:
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余项的绝对值:
因此, 任给> 0,
取自然数
则当n > N 时有
这说明级数在[0, +∞) 上一致收敛于
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例2.
证明级数
在[0,1] 上不一致收敛.
证:
取正数
对无论多么大的正数 N ,
因此级数在[0, 1] 上不
一致收敛.
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说明:
对任意正数 r < 1,
级数在[ 0, r ] 上一致收敛.
事实上, 因为在[ 0, r ] 上
任给> 0,
欲使
只要
因此取
只要
即级数在[ 0, r ] 上一致收敛.
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维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法
用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出
这往往比较困难.
下面介绍一个较方便的
判别法.
若函数项级数
在区间 I 上满足:
则函数项级数
在区间 I 上一致收敛.
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