文档介绍：第一章
一、自变量趋于有限值时函数的极限
第三节
自变量变化过程的六种形式:
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
本节内容:
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函数的极限
一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度,
要求
确定直接观测值精度:
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定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义,
当
时, 有
则称常数 A 为函数
当
时的极限,
或
即
当
时, 有
若
记作
几何解释:
极限存在
函数局部有界
(P36定理2)
这表明:
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例1. 证明
证:
故
对任意的
当
时,
因此
总有
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例2. 证明
证:
欲使
取
则当
时, 必有
因此
只要
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例3. 证明
证:
故
取
当
时, 必有
因此
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例4. 证明: 当
证:
欲使
且
而
可用
因此
只要
时
故取
则当
时,
保证.
必有
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2. 保号性定理
定理1 . 若
且 A > 0 ,
证: 已知
即
当
时, 有
当 A > 0 时,
取正数
则在对应的邻域
上
(< 0)
则存在
( A < 0 )
(P37定理3)
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若取
则在对应的邻域
上
若
则存在
使当
时, 有
推论:
(P37 推论)
分析:
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定理 2 . 若在
的某去心邻域内
, 且
则
证: 用反证法.
则由定理 1,
的某去心邻域,
使在该邻域内
与已知
所以假设不真,
(同样可证
的情形)
思考: 若定理 2 中的条件改为
是否必有
不能!
存在
如
假设 A < 0 ,
条件矛盾,
故
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