文档介绍：§ R n 中的点集
教学目的欧氏空间 R n
,可以熟悉欧氏空间上的开集,
闭集和 Borel 集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础.
本节要点由 R n 上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集
-代数引入 Borel 集是一个重要的集, 它有
一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.
充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容.
本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论. 但 R n 上的 Lebesgue 测度与
Lebesgue 积分仍是最重要的情形. 这不仅是因为 R n 上的 Lebesgue 积分具有广泛的应用,
而且因为 R n 上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例. 本节将讨论 n 维欧式空间中
的一些常见的点集.
用 R n 表示 n 维欧式空间, 即
n 1
R ={x = (x1 ,Lxn ) : x1 ,L, xn ∈ R }.
对任意 n 令
x = (x1 ,Lxn ) ∈ R ,
1
2 2 2
x = ()x1 +Lxn .
称为的范数注意若 1 则就是的绝对值设和
x x . x ∈ R , x x . x = (x1 ,Lxn )
是 n 中的任意两点定义这两点之间的距离为即
y = (y1 ,L yn ) R . d(x, y) = x − y .
n 1
2 2
d(x, y) = (∑(xi − yi ) ) .
i=1
n n
设{xk } 是 R 中的一个点列, x ∈ R . 若 lim d(xk , x) = 0, 则称{xk } 收敛于 x,
k→∞
记为 lim xk = x, 或 xk → x, (k →∞).
k→∞
邻域, 内点与开集
n n
定义 1 设 x0 ∈ R , A ⊂ R .
n
(1).设ε> 0. 称 R 的子集U (x0 ,ε) = {x : d(x, x0 ) < ε} 为点 x0 的ε-邻域
(2). 若 x0 ∈ A并且存在 x0 的一个邻域U (x0 ,ε) ⊂ A, 则称 x0 为 A 的
一个内点(图 4 1).
28
(3). 若 A 中的每个点都是 A 的内点, 则称 A 为 R n 中的开集. 规定空
集∅为开集.
(4). 由 A 的内点全体所成的集称为 A 的内部, 记为 Ao .
ε
x1
ε
x0
A

图 4 1

例如, 每个有界或无界开区间(a, b),(−∞, a),(a, + ∞) 都是直线 R1 上的开集. 若
n n
x0 ∈ R , r>0, 则容易证明 x0 的 r −邻域 U (x0 ,r) 是 R 中的开集. 因此U (x0 ,r) 又称
为以 x0 为中心, 以 r 为半径的开球.
定理 2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质:
(i).空集∅和全空间 R n 是开集.
(ii). 任意个开集的并集