文档介绍：第二章曲线的局部微分几何
§2 曲线的弧长和弧长元素
通俗地讲,将曲线的一段想象成软绳的一段,则软绳的所谓“长度”是可以用“直尺”“弯”,则其两个端点的“直线距离”,类似的抽象观点被有效利用的年代可以追溯到古希腊的阿基米德时代;而被严格并且广泛地利用于自然科学当中,则是从 Newton 和 Leibniz ,在微积分学之中,当曲线“可求长”时,“长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度”的极限值,而构成折线的各个直线段的“长度”被认为总是可以确定的;在此,勾股定理确定了三维 Euclid ,基本的度量规则确定了所谓的“长度”,同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定义的各种等价方式;而基本度量规则的改变,,可以再回过头来仔细体会上述说法的含义.
下面,将从几何学的角度给出长度概念及其解释.
中正则曲线段的长度
给定 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz .设 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , tÎ[a, b]
Dn: t0 = a < t1 < …< tn = b ,
对应有曲线上的分点 Pj: r(tj) , j = 0, 1, …, n .相应折线的长度确定为
| Pj-1Pj | = | r(tj) - r(tj-1) | = .
由 Taylor 展开式,可写
r(tj) - r(tj-1) = (Dtj) r¢(tj-1) + R2j ,
其中余项 R2j = (x²(x1j), y²(x2j), z²(x3j))®r²(tj-1) , 当 Dtj = tj - tj-1®0 .此时
| |r(tj) - r(tj-1)| - |(Dtj) r¢(tj-1)| | ≤| R2j | ,
| |r(tj) - r(tj-1)| - |r¢(tj-1)| Dtj | ≤| R2j | .
记
||Dn|| = max{Dtj | j = 0, 1, …, n } ,
xM = max{|x²(t)| | tÎ[a, b]} ,
yM = max{|y²(t)| | tÎ[a, b]} ,
zM = max{|z²(t)| | tÎ[a, b]} ,
则
≤||Dn||
= ||Dn|| (b - a)
®0 , 当||Dn||®0 .
按照 Riemann 积分意义,此即证得下述结论.
定理1 正则曲线上的弧段 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , tÎ[a, b] 是可求长的,且长度取值为 L(C) = ò |r¢(t)| dt .
为了说明按分析意义引进的“长度”作为几何概念是合理的,,它不依赖于正则参数的选取;这只要在参数变换下验证其不变,,它不依赖于 E3 中Descartes直角坐标系的选取;这只要在正交标架变换或刚体运动下