文档介绍：第三章曲面的第一基本形式
§5 局部正交参数网与等温参数
无论是空间本身还是在曲面上,对于几何问题的解析化处理方法而言,,,应该注意体会其所具有的另一种作用;这就是,根据场合选取具有特定几何意义的坐标系,,它经常用于建立所需要的局部坐标系,包括确定曲面上的一般正交网的局部存在性,以及后续章节中将会出现的一些具有特定几何意义的参数曲线网的局部存在性.
定理1 设二阶连续可微正则曲面 S: r = r(u, v) , (u, v)ÎD 上已给出两个处处线性无关的连续可微切向量场 a(u, v) , b(u, v) ,则对任何点(u0, v0)ÎD 存在其邻域 D0ÌD ,使在 D0 内存在参数变换满足 ru*∥a , rv*∥b ,即切向量场 a(u, v) , b(u, v) 的积分曲线族分别为 u*, v* 曲线族.
证法分析要寻找容许参数变换使
其中 f 和 g 是待定的可微函数且不取零值,(a1, a2) 和(b1, b2) 分别是切向量场 a(u, v) 和 b(u, v) ,则其满足
(du , dv) = dr = (du*, dv*)
= (du*, dv*)
= (f du*, g dv*) .
反之,若满足此式的容许参数变换存在,,定理的证明转化为,寻找非零的待定连续可微函数 f 和 g 使
(f du*, g dv*) = (du, dv)
= (du, dv) ,
此即待定函数满足全微分方程组
注意到所给向量场的连续可微性和线性无关性,由全微分方程理论可知,局部总可取到非零的积分因子和使上式分别成立,即非零的待定连续可微函数 f 和 g ,容易写出证明(留作习题).
定理2 在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近总可取到正交网.
证明对曲面 S: r = r(u, v) , (u, v)ÎD ,取
a(u, v) = ru(u, v) ,
b(u, v) = rv(u, v) - ru(u, v) ,
则 a, b 是两个处处线性无关的连续可微切向量场,,可分别取切向量场 a, b 的积分曲线族为局部的两族坐标曲线,则此两族坐标曲线构成正交网. □
注记①曲面正交网的存在性是局部性质;至于大范围内是否存在正交网,,球面的经纬度表示有非正则点——两极;而对整个球面,没有整体有定义的正交网.
②曲面上的处处正交的单位切向量场总是存在的,这只要对自然基实施标准的Schmidt正交化即可知;但是,定理并没有保证它们可以成为自然切向量场,而只是保证它们可以处处平行于某个自然切向量场.
定义1 若曲面 S 在参数(u, v) 下的第一基本形式形为
ds2 = r2(u, v) (du2 + dv2) ,
其中函数 r > 0 ,则称参数(u, v) 为曲面 S 的一种等温参数.
在等温参数下,,从() 式可见,曲面上的曲线的交角,总等于其在等