文档介绍：信息科学技术学院 2002-2003 学年第二学期
本科生期末考试试卷
考试科目: 集合论与图论考试时间:2003 年 6 月
专业级班
姓名学号毛
装
题一二三四五六七八九十总分
号
订得
分
线
内(注意:从下列 1-5 题中选做 3 道,从下列 6-10 题中选做 3 道,每题 10 分,
试卷总计 60 分,平时成绩 40 分,期末总评 100 分。)
请 1. 证明或推翻下列命题:“设⊕表示集合的对称差运算,则对于任意集合 A
和 B 成立:P(A)⊕P(B)=P(A)⊕P(C)⇔B=C”。(10 分)
勿解答与评分标准:
命题成立(2 分)。
证明: 有消去律, ( 分)。
答⊕ P(A)⊕P(B)=P(A)⊕P(C)⇔P(B)=P(C) 3
( 分)。
P(B)=P(C)⇔B=C 3
其他细节(2 分)
题
2. 证明或推翻下列命题:“设 R 是从 A 到 B 的二元关系,则下列两个条件互
为充要条件。条件一:存在 C⊆A 且 D⊆B”使得 R=C×D。条件二:对于 A
中任意 x1,x2 和 B 中 y1,y2,有(x1Ry1∧x2Ry2)→x1Ry2.”
解答与评分标准:
命题成立(2 分)。
条件一⇒条件二:x1∈C,y2∈D(3 分)。
- 0 -
条件二⇒条件一:C=dom(R),D=ran(R)(3 分)。
其他细节(2 分)
3. 设 A={1,2,…,10},定义 A 上的二元关系 R={<x,y>|x,y∈A∧x+y=10},说明 R
具有哪些性质并说明理由。
解答与评分标准:
讨论 5 种性质(各 2 分)。
非自反:<1,1>不属于 A。
非反自反:<5,5>∈A。
对称:定义。
非反对称:<3,7>,<7,3>∈A 但 7 不等于 3。
非传递:<3,7>,<7,3>∈A 但<3,3>不属于 A。
4. 比较下列集合的基数大小并给出证明:A×A,P(A),2→A,A→2.
解答与评分标准:
|A×A| = |2→A| = |A|2(2 分),
|P(A)| = |A→2| = 2|A|(2 分)。
分情况讨论:
(1) A 为空集:注意 A→2={空关系},
|A×A| = |2→A| = 0 < |P(A)| = |A→2| = 1。(1 分)
(2) A 为有限集且|A|=1:
|A×A| = |2→A| = |A|2 = 1 < 2 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)
(3) A 为有限集且|A|=2:
|A×A| = |2→A| = |A|2 = 4 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)
(4) A 为有限集且|A|=3:
|A×A| = |2→A| = |A|2 =9 > 8 = 2|A| = |P(A)| = | A→2| 。(1 分)
(5) A 为有限集且|A|>4:
|A×A| = |2→A| = |A|2 < 2|A| =