文档介绍：南开大学2005硕士研究生入学考试试题
考试科目:高等代数
注:本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》!
一、计算下列行列式
解:
由行列式性质,
显然,第二式为0,连续运用此性质得
二、设齐次线形方程组
的一般解以为自由未知量
求 a,b,c,d,e满足的条件
求齐次线形方程组的基础解系
解:
有自由变量数为2,可知,方程组系数矩阵的秩为2
即
的秩为2,又易得系数矩阵变形
故,可通过初等变换得到
即,,也即
(2)结合上面的讨论,易知基础解系为
三、(1)已知且,求X=?
(2)已知,且矩阵方程有解,求a,b,X.
解:
令由B的第三列均为0知
不妨令
则有矩阵乘法法则,知
解得
同理,
即
(2)将看成两个方程组和, 其中,
显然有解,即与有相同的秩,
也即,在经过变形得到的矩阵中
有, 得
同理,中有,即,
对中有,基础解系
对有基础解系
综上,有.
四、设和均为实数域上n元二次型,且存在实数域上n阶方阵C和D使得,
证明:和具有相同的规范形
证明:
由乘积的秩不超过各因子的秩,及得,
,及,从而,
不妨设,,若不妨设
则由,得,
,即,

记,其中,
则有, ,从而
对得,等式右边得到一个半正定矩阵,
故,这样A与B有共同的秩,且具有相同的正惯性指数,即, A与B合同,
也即,它们合同于同一个形为
,,和具有相同的规范形.
五、
试问是否存在上的线形变换A使

解:由题显然有,且线性无关,也线性无关. 故可添加一个向量,使得, 均线形无关
可以把作为一组基,则存在上的线性变换A使
, ,则由线性变换定义,
此线性变换满足
故存在上的线形变换A使
六、设V为数域P上n维线形空间,?
解:不妨设存在这样的一组基,设为,A在这组基下的矩阵为A,且
由284页定理2及,知,
对前式,有
故,此时,
从而有,这与题意矛盾从而不存在V的一组基使在这组基下的矩阵为对角