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文档介绍：第二十二章各种积分间的联系与场论初步
§1 各种积分间的联系
1. 应用格林公式计算下列积分:
H 2 2
2 2 x y
(1) L xy dy − x ydx,其中L 为椭圆 a2 + b2 = 1,取正向;
H
(2) L (x + y)dx + (x − y)dy,L 同(1);
H
2 2 2
(3) L (x + y) dx −(x + y )dy,L 是顶点为A(1, 1), B(3, 2), C(2, 5)的三
角形的边界,取正向;
H
2 3 3 2 2 2
(4) L (x + y )dx −(x − y )dy,L 为x + y = 1,取正向;
H
y −x
(5) L e sin xdx + e sin ydy,L 为矩形a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d的边界,取
正向;
H
xy
(6) L e [(y sin xy + cos (x + y)) dx + (x sin xy + cos (x + y)) dy], 其中L
是任意逐段光滑闭曲线.
2. 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积:
(1) 双纽线r2 = a2 cos 2θ;
(2) 笛卡儿叶形线x3 + y3 = 3axy(a > 0);
(3) x = a(1 + cos2 t) sin t, y = a sin2 t cos t, 0 ≤ t ≤ 2π.
3. 利用高斯公式求下列积分:
RR
(1) x2dydz + y2dzdx + z2dxdy,其中
S
(a) S为立方体0 ≤ x, y, z ≤ a的边界曲面外侧;
(b) S 为锥面x2 + y2 = z2(0 ≤ z ≤ h),下侧.
1
RR
(2) x3dydz + y3dzdx + z3dxdy,其中S 是单位球面的外侧;
S
p
(3) 设S 是上半球面z = a2 − x2 − y2的上侧,求
RR
(a) xdydz + ydzdx + zdxdy,
S
RR ¡ ¢ ¡ ¢
(b) xz2dydz + x2y − z2 dzdx + 2xy + y2z dxdy;
S
RR ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
(4) x − y2 + z2 dydz + y − z2 + x2 dzdx + z − x2 + y2 dxdy,S是(x − a)2+
S
(y − b)2 + (z − c)2 = R2的外侧.
4. 用斯托克斯公式计算下列积分:
H
2 3
(1) L x y dx + dy + zdz,其中
(a) L 为圆周x2 + y2 = a2, z = 0,方向是逆时针,
(b) L 为y2 + z2 = 1, x = y所交的椭圆,从x 轴正向看去,按逆时针方
向;
H
(2) L (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz,L 是从(a, 0, 0) 经(0, a, 0)
至(0, 0, a) 回到(a, 0, 0)的三角形;
H ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
2 2 2 2 2 2
(3) L y + z dx + x