向量组和线性方程组.pdf

文档介绍：2004-HXZ
第三讲向量组与线性方程组
矩阵、向量组与方程组的本质内容联系密切,转换灵活。为便于联系与应用,特将这
些内容综合在一起,目的是深刻理解其内在联系,体会矩阵秩在研究向量组和方程组中的
本质作用。
向量组: 线性表示与线性相关性; 向量组的最大无关组与秩; 向量空间。
方程组: 解的性质; 解的判定; 无穷多解时解的结构; 初等行变换解方程。
一、考点简述
1、线性表示
①向量由向量组线性表示——线性非齐次方程组解的判定定理:
r
设 r r r r T T ,则
Am×n = (a1 ,a2 ,L,an ), x = (x1 , x2 ,L, xn ) ,b = (b1 ,b2 ,L,bm )
r 唯一
(ⅰ)列向量可由 A 的列向量组 rr r线性表示
b aa12,,L an 
不唯一
r r 唯一 r = n
⇔线性非齐次方程组 Ax= b 有解⇔=rA() rAb ( |)
无穷多解< n
r
(ⅱ)列向量不可由 A 的列向量组 r rr线性表示
b aa12,,L an
r r
⇔线性非齐次方程组 Axr = b 无解⇔ r(A) < r(A | b)
②向量组由向量组线性表示:
(ⅰ) Am×n 的列向量组可由 Bm×l 的列向量组线性表示
⇔存在矩阵 K l×n ,使有 A = BK ;[右列]
(ⅱ) Am×n 的行向量组可由 Bl×n 的行向量组线性表示
r r r r
⇔存在 K m×l ,使有 A = KB [左行] ⇔ Bx = 0 的解必为 Ax = 0 的解
⇒ n − r(B) ≤ n − r(A) 即 r(A) ≤ r(B) ⇒ r(AB) ≤ min{r(A),r(B)}
③向量组与向量组等价——同解方程组
Am×n 的行向量组与 Bl×n 的行向量组等价
r r
⇔ Axr = 0 与 Bxr = 0 为同解方程组⇒ r(A) = r(B)
注意:等价向量组、等价矩阵与等价方程组概念不同。

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2、向量组线性相关性——线性齐次方程组解的判定
概念:
n r
(ⅰ) r r r 线性相关存在一组不全为零的数,使 r ;
a1,a2 ,Lan ⇔ x12,,xxL n ∑ xi ai = 0
i=1
n r
(ⅱ) r r r 线性无关只有全为零时才有 r 对任意
a1,a2 ,Lan ⇔ x12,,xxL n ∑ xi ai = 0 ⇔
i=1
n r
一组不全为零的数,均有 r 。
x12,,xxL n ∑ xi ai ≠ 0
i=1
转换:
相关 r有非零解[无穷多解]
的列向量组 r r r 线性 r
Am×n a1,a2 ,Lan ⇔ Ax = 0
无关只有零解[唯一解]
< n
r r r
⇔ r(a1 ,a2 ,Lan )
= n
由此可见,向量线性表示、向量组线性相关性与线性方程组、矩阵秩有着深刻联系,
要深刻理解和灵活应用这些知识点。
例如,列满秩矩阵的列向量组必线性无关;秩小于个数的向量组必线性相关;方程个
数小于未知量个数的线性齐次方程组必有非零解;个数大于维数的向量组必线性相关;行
满秩系数矩阵的线性非齐次方程组必有解,等等。
重要结论:
① rr r 线性相关 r rr中“至少有一个”可由其余向量线性
aa12,,L am ( m≥ 2) ⇔ aa12,,L am
表示; rr r 线性无关 rr r中“任意一个均不能”由其余向量线
aa12,,L am ( m≥ 2) ⇔ aa12,,L am
性表示;
r r
② rr r线性无关, r rr线性相关可由 r rr唯一线性表
aa12,,L am aa12,,L am , b ⇒ b aa12,,L an
示;
③部分相关⇒全体相关,反之不然;
等价说法:全体无关⇒部分无关,反之不然;
④向量组无关⇒“加长”向量组无关,反之不然;
等价说法:向量组相关⇒“缩短”向量组相关,反之不然;
相关= 0
⑤方阵 A 的行列向量组线性⇔| A | ;
无关≠ 0

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r rr r rr r rr
特别的,三维空间 aaa123,,线性相关⇔ aaa123,,共面⇔[,aaa123 , ]= 0;
⑥两个向量线性相关[无关