文档介绍：练习一
、虚部、模与幅角。
(1);
解:
=
(2)
解:
。
1)
解:
(2)
解:
。
(1)
解:
(2)
解:
z3
z2
z1+z2
0
4..设三点适合条件:=0,是内接于单位圆
=1的一个正三角形的项点。
证:因所以都在圆周又因=0
则,所以也在圆周上,又所以以0,为顶点的三角形是正三角形,所以向量之间的张角是,同理之间的张角也是,于是之间的张角是,同理与,与之间的张角都是,所以是一个正三角形的三个顶点。

:当时,则。
证:
),求证
证:
则
当时
故
当时,同理可证。
*8 .思考题:
(1)复数为什么不能比较大小?
答:复数域不是有序域,复数的几何意义是平面上的点。
(2)是否任意复数都有辐角?
答:否,是模为零,辐角无定义的复数。
练习二
0
i
y
?
(1)
解:设则
则点Z的轨迹为:
(2),其中为实数常数;
解:设则:
y
则:
0
b
若: 则轨迹为:
若: 则
轨迹:
若: 则无意义
(3),其中为复数为实常数。
解:由题设可知:
即:
若:,则Z的轨迹为一点-,
若:,则Z的轨迹为圆,圆心在-,半径为若:,无意义
0
y
(1,1)
(-1,-4)
,连接与直线段。
解:
则
,并指明它是有界的还是无界的?是单连域还是多连域?并标出区域边界的方向。
0
y
(1)
解:由,得
又,得
有界,单连域
0
x
y
-1
1
(2)
解:令
由
即:
无界,单连域
y
(3)
3/5
x
解:令则:
无界,多连域
v
,描出当在区域内变化时,的变化范围。
解:令
则
0
u
则

的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴
。
证:=
令则:上述极限为不确定,因而极限不存在。
*
(1)怎样理解复变函数?
答:设就是

即因此,一个复变函数与两个实变函数和相对应,从几何意义上来说,复变函数可以看作是
平面上的点集到平面上的点集上的映射。

(2)设复变函数当时的极限存在,此极限值与z趋于所采取的方式(取的路径)有无关系?
答:没有关系,以任意方式趋于时,极限值都是相同的,反过来说,若令沿两条不同的曲线趋于时极限值不相等,则说明在没有极限,这与高等数学中的情形是类似的,只是一元实函数中,只能从左、右以任何方式趋于,而这里可以从四面八方任意趋于。
练习三
,求的导数。
解:

当时,导数不存在,
当时,导数为0。
?何处不可导?何处解析?何处不解析?
(1)
解:
当且仅当时, 满足条件,故当时可导,但在复平面不解析。
(2)
解:令
则
因在复平面上处处满足条件,且偏导数连续,故可导且解析。
,试确定的值。
解:由条件可知: 所以
又所以
即
,试证明在内下列条件是彼此等价的。
(1)=常数; (2); (3)常数
(2)常数; (5)解析; (6)常数。
证:由于在且域内解析,则可得方程成立,即
且
1)→2)由则在内成立,故(2)显然成立,
2)→3)由是常数
即常数
3)→4) 常数由条件是常数
常数
4)→5)若因在内解析
即
一阶偏导连续且满足条件在内解析
5)→6) 因解析,则由条件
, 对在内解析,
为常数
6)→1) 常数=常数,令
分别对求偏导数得
若则,因而得证
若,则,故常数,由条件为常数
常数
*:
(1)复变函数在一点可导与在解析有什么区别?
答:在解析则必在可导,反之不对。这是因为在解析,不但要求在可导,而且要求在的某个邻域内可导,因此,在解析比在可导的要求高得多,如在=0处可导,但在处不解析。
(2)函数在区域D内解析与在区域D内可导有无区别?
答:无,(两者等价)。
(3)用条件判断解析时应注意些什么?
答:是否可微。
(4)判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。
答:一是定义。
二是充要条件。
三是可导(解析)函数的和、差、积、商与复合仍可导(解析)函数
练习四
:
(1)
解:由解析可知: 而
则
所以