文档介绍：60曲面及其方程
常用二次曲面的方程及其图形
1、球面设是球心,R是半径,是球面上任一点,则,即
2、椭球面
3、旋转曲面
设L是x0z平面上一条曲线,L绕z旋转一周所得旋转曲面:
得
例1、称为旋转抛物面
旋转双曲面:,(单)
4、椭圆抛物面
5、单叶双曲面
6、双叶双曲面
7、二次锥面
圆锥面
8、柱面抛物柱面
椭圆柱面
圆柱面
60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程(以后讲)
一般式
曲线在三坐标面上投影方程
在x0y面上投影曲线方程:在中消去z,再与z=0联立。
多元函数微分学
10二元函数及其极限与连续
1、,定义域为平面上某一个平面域
几何上为空间一张曲面。
2、二元函数极限 P186
例1、讨论函数
极限是否存在。
解:
而∴在(0,0)极限不存在.
3、连续 P187
20多元函数的偏导数与全微分
1、偏导数
定义:处对x的偏导数,
记作:
即:
同理:
存在,称可导。
例1、
解:
例2、P188,例5,6
设
解:
2、高阶偏导数

连续,则
3、全微分
如

可微
全微分
↗可导
↘连续
偏导数连续→可微
例3、设则
例4、由方程
确定在点全微分
30复合函数微分法
定理:P194
z = f (u . v) u = u ( x . y.) v = v ( x . y ) z = f ( u , v ) = F ( x . y )
,
例5、P195,
设 z = ( 1 + x2 + y2 )xy 求
解:

解 ,
例7、,其中可微,则

例8、,可微,则
例9、设 ,求证
证:令则

例10、设,其中二阶可导,具有二阶连续偏导数。
求
解:

例11、设,试将方程变换成以, 为自变量的方程,其中函数具有二阶连续偏导数。
解:

∴

于是方程变为:
40隐函数求导
确定了求
(1)方程两边同时对求导,注意,可求得
方程两边同时对求导,注意,可求得
(2)利用公式
(3)两边微分
用(2),(3)需具体方程给出,容易
例12、设由方程,求
解法一、在方程两边对x求导,注意
解法二、设
解法三、在方程两边微分

即
∴
例13、设由方程确定,其中可微
则
例14、已知方程定义了,求
解:
(或方程两边对求导,注意)
在方程两边对求导,
在(1) 式两边对x求导
法二:

∴
例15、习题7
设,,,其中,都具有一阶连续偏导数,且,求
解:
在,两边对求导,设

例16、P200,例:
50一阶偏导数在几何上的应用
空间曲线的切线与法平面
曲线L:(Ⅰ) (Ⅱ)
曲线L在M0点处切线方程为:
或
例17、P204,,
法二
在两边微分
在点
取
∴切线方程
例19、求曲线点处切线方程
解:法一代入
得