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讲
曾
金
平
第七章
二次型与二次曲面
§1 二次型的矩阵表示
考虑一个简单的几何问题:方程
在平面上代表什么曲线?
将坐标系(O,x,y) 逆时针旋转45度,即令
则得曲线在坐标系(O,u,v)中的方程:
从而曲线为一椭圆。
上述例子中,我们通过坐标变换(1,2), 将曲线方程()化为形如()的标准形式。坐标变换()可以解释为满秩的线性变换。应用此变换到()的左边,便说满秩变换()将方程()的左边化为方程()的左边。从代数的观点看,即一个二次多项式通过变量的满秩线性变换化为标准型。下面我们讨论更一般情形。
定义
将 n 元二次齐次式
称为 n 元二次型。
二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。
设有二次型
则称矩阵A 为二次型的矩阵:
对称矩阵
矩阵 A 的秩就是二次型的秩,记为 r = r(A)。
令
则二次型的矩阵形式为
写出二次型的矩阵及其矩阵表示式:
解
令
则
具体的表示
同学课后
式由
完成
写出二次型的矩阵和矩阵表示式:
解
矩阵是对角矩阵
令
则