文档介绍：第 1 章
模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知,经典数学是以精确性为特征的.
然而,与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样说,有时模糊性比精确性还要好.
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.
尽管这里只提供了一个精确信息――男人,而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念,但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断,就可以接到这个人.
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门,农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.
§ 模糊理论的数学基础
经典集合
经典集合具有两条基本属性:元素彼此相异,即无重复性;范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA),二者必居其一.
集合的表示法:
(1)枚举法,A={x1 , x2 ,…, xn};
(2)描述法,A={x | P(x)}.
AB 若xA,则xB;
AB 若xB,则xA;
A=B  AB且 AB.
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集,记为(A).
并集A∪B = { x | xA或xB };
交集A∩B = { x | xA且xB };
余集Ac = { x | xA }.
集合的运算规律
幂等律: A∪A = A, A∩A = A;
交换律: A∪B = B∪A, A∩B = B∩A;
结合律:( A∪B )∪C = A∪( B∪C ),
( A∩B )∩C = A∩( B∩C );
吸收律: A∪( A∩B ) = A,A∩( A∪B ) = A;
分配律:( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C );
( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C );
0-1律:A∪U = U , A∩U = A ;
A∪= A , A∩= ;
还原律: (Ac)c = A ;
对偶律: (A∪B)c = Ac∩Bc,(A∩B)c = Ac∪Bc;
排中律: A∪Ac = U, A∩Ac = ;
U 为全集,为空集.
集合的直积:
X  Y = { (x , y )| xX , y Y }.
映射与扩张
映射 f : X Y
集合A的特征函数:
特征函数满足:
取大运算,如2∨3 = 3
取大运算,如2∧3 = 2
扩张:点集映射集合变换
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系,
特别地,当 X = Y 时,称之为 X .
若(x , y )R,则称 x 与 y 有关系,记为
R (x , y ) = 1;
若(x , y )R,则称 x 与 y 没有关系,记为
R (x , y ) = 0.
映射
R : X  Y {0,1}
实际上是 X  Y 的子集R上的特征函数.
关系的三大特性:
设R为 X 上的关系
(1) 自反性:若 X 上的任何元素都与自己有关系R,即R (x , x) =1,则称关系 R 具有自反性;
(2) 对称性:对于X 上的任意两个元素 x , y,若 x 与y 有关系R 时,则 y 与 x 也有关系R,即若R (x , y ) =1,则R ( y , x ) = 1,那么称关系R具有对称性;
(3) 传递性:对于X上的任意三个元素x, y, z,若x 与y 有关系R,y 与z 也有关系R 时,则x与z 也有关系R,即若R (x , y ) = 1,R ( y , z ) =1,则R ( x , z ) = 1,那么称关系R具有传递性.
关系的矩阵表示法
设X = {x1, x2, …, xm},Y={ y1, y2, …, yn},R为从 X 到 Y 的二元关系,记
rij =R(xi , yj ),R = (rij)m×n,
则R为布尔矩阵(Boole),称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , …, ys}, Z = {z1, z2, …, zn},且X 到Y 的关系
R1 = (aik)m×s,
Y 到 Z 的