文档介绍：§ 特征值与特征向量
定义7
设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的 n维列向量x,使得
Ax=λx ()
则称数λ为矩阵 A的特征值,称 x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.
设x是对应于特征值λ的特征向量,由于
A(kx)=k(Ax)=k(λx)= λ(kx) k≠0 ,
所以,,.
()也可以写成
(A-λI)x=0 ()
这是一个含 , A的特征值就是使()有非零解的λ,而方程()有非零解的充要条件是
|A-λI|=0 ()
方程()的右端|A-λI|为λ的多项式,.
λ0是方阵A的特征值,则由
(A-λ0I)x=0
可求得非零解 x=P 0,P0就是A的对应于特征值λ0的一个特征向量.
综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:
第一步计算特征多项式|A-λI|;
第二步求出特征多项式|A-λI|的的全部根,即A的全部特征值.
第三步对于A的每个特征值λ0,求出齐次线性方程组(A-λ0I)x=0的一个基础解系.
定理3
(2) 由于
推论
n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.