文档介绍：第六章一元微积分的应用
一.  选择题 
1.  设 f(x)在(-∞, +∞)内可导,  且对任意 x1, x2, x1 > x2 时,  都有 f(x1) > f(x2),  则 
(a)  对任意 x,  f ' ( x ) > 0  (b)  对任意 x,  f ' ( x ) ≤ 0 
(c)  函数 f(-x)单调增加  (d)  函数-f(-x)单调增加
解.  (a)  反例:  f ( x ) = x 3 ,  有  f ' ( 0)   = 0 ;  (b)  显然错误.  因为  f ' ( x ) ≤ 0 ,  函数单减;  (c)  反
例:  f ( x ) = x 3 ,  f ( − x ) = − x 3  单调减少;  排除(a), (b), (c)后, (d)为答案.  具体证明如下: 
令 F(x) =  -f(-x), x1 > x2,  -x1 <  -x2.  所以 F(x1) =-f(-x1) >  -f(-x2) = F(x2). 
π
2.  设  f(x)在[-π,  +π]上连续,  当  a  为何值时, F ( a ) = [ f ( x ) − a cos nx ] 2 dx 的值为极小
∫−π 
值. 
π 1  π
(a) f ( x ) cos nxdx  (b) f ( x ) cos nxdx 
∫−π  π  ∫−π
2  π 1  π
(c) f ( x ) cos nxdx  (d) f ( x ) cos nxdx 
π  ∫−π 2 π  ∫−π
π
解. F ( a ) = [ f ( x ) − a cos nx ] 2 dx 
∫−π 
πππ
= a 2 cos 2  nxdx − 2a    f ( x ) cos nxdx + f 2 ( x ) dx 
∫−π  ∫−π∫−π
ππ
= π a 2  − 2 a  f ( x ) cos nxdx + f 2 ( x ) dx  为 a 的二次式. 
∫−π∫−π
1  π
所以当 a = f ( x ) cos nxdx , F(a)有极小值. 
π  ∫−π
3.  函数 y = f(x)具有下列特征: 
< 0  x < 0
f(0) = 1;  f ' ( 0)   = 0 ,  当 x ≠ 0 时,  f ' ( x ) > 0 ; f ' ' ( x ) ,  则其图形 
> 0  x > 0 
(a)                                    (b)  (c)                                (d) 
1