第2章 第三节 牛顿切线法.ppt

文档介绍：第三节牛顿切线法
一、牛顿法的基本思想
设已知方程 f (x) = 0 的近似根 x0,且在 x0附近可用一阶泰勒多项式近似,表示为
当 f (x0) ≠0 时,方程 f (x) = 0 可用线性方程近似代替,即
解此线性方程得
取此 x 作为原方程的新近似根 x1,重复以上步骤,
得迭代公式
此式称为牛顿(Newton)迭代公式。
例 1
用牛顿法求方程
在内一个实根,取初始近似值
解
所以迭代公式为:
列表计算如下:




3
2
1
0
n
二、牛顿法的几何意义
方程的根就是曲线与轴交点的横坐标,当初始值选取后,过
作切线,其切线方程为:
它与x轴交点的横坐标为:
一般地,设是的第n 次近似值,过
作的切线,其切线与x
轴交点的横坐标为:
即用切线与 x 轴交点的横坐标近似代替曲线
与x 轴交点的横坐标,如图2-4。
若过曲线 y= f (x)上的点 P ( xk , f ( xk ))引切线,
该切线与 x 轴交点的横坐标即为由牛顿迭代公式
求得的 xk+1 , 因此牛顿迭代法也称牛顿切线法。
图2-4
将原方程化为 x – e – x = 0,则
牛顿迭代格式为
取 x0 =,迭代得
x1=, x2=, x3=
f(x)= x –e – x , f (x)=1+ e – x,
用牛顿迭代法求方程 x = e –x 在 x = 附近的根。
例4
解
三、牛顿迭代法的收敛速度
牛顿迭代法的迭代函数为
不一定为 0
由于
所以当时,
定理
设在满足
则方程在上有且只有一个实根,有牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列
收敛于方程的根
只是收敛速度将大大减慢。
1、当为单根时,牛顿迭代法在根的附近至少
是二阶收敛的;
2、当为重根时,设为m重根,则 f (x)可表为
其中此时用牛顿迭代法求仍然收敛,