文档介绍：§ 龙格-库塔方法
一、Taylor展开法
设
截取有限项作为的近似值,有
Taylor公式
局部截断误差
二、龙格-库塔方法的基本思想
龙格首先提出用n个点处 f 的函数值的线性组合来代替 y 的导数值,然后按泰勒公式展开,确定其中的系数,以提高精度.
Taylor公式具有 p阶精度.
当 p=1时,即为Euler公式.
Taylor公式需要计算 y 的各阶导数值,当阶数
较高时,求导过程很复杂.
多预报几个点的斜率值,将它们的线性组合作为平均斜率的近似值,有可能构造出精度更高的计算格式.
)
,
(
1
1
1
å
å
-
=
=
+
+
=
-
-
»
i
j
j
ij
n
i
n
i
i
v
i
i
i
hk
a
y
h
c
x
f
k
f
v
k
k
值的个数
所使用的
待定权因子
令
w
w
【定理4】(二元函数的泰勒公式)
三、二阶龙格-库塔公式
———中点公式
———Heun公式
———改进的欧拉公式