文档介绍：第一部分初等数学方法
第一章建模示例
第一节选举中的席位分配
一. 比例代表制
例:有A、B、C、D四个政党,代表50万选民,各政党的选民数为:
A党:199,000 B党:127,500
C党:124,000 D党: 49,500
要选出5名代表:
A党:2席 B党:1席
C党:1席 D党:0席
缺少1席,如何分配这最后一席呢?
第一节选举中的席位分配
最大余数法
按每10万选民1席分配后,按余数大小排序,多余的席位分给余数较大的各党。
党名代表选民数整数席余数余额席总席数
A 199,000 1 99,000 1 2
B 127,500 1 27,500 0 1
C 124,000 1 24,000 0 1
D 49,500 0 49,500 1 1
第一节选举中的席位分配
洪德(dHondt)规则
分配办法是:把各党代表的选民数分别被1、2、3、…除,按所有商数的大小排序,席位按此次序分配。即若A党的人数比D党的人数还多,那么给A党3席、给D党0席也是合理的。
除数 A党 B党 C党 D党
1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500
2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750
3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500
4 49,750 31,875 - -
总席位 3 1 1 0
第一节选举中的席位分配
北欧折衷方案
作法与洪德规则类似,、3、5、7、…
A党 B党 C党 D党
2 2 1 0
三种分配方案,得到了完全不同的结果,最大余数法显然对小党比较有利,洪德规则则偏向最大的党,北欧折衷方案对最大和最小党都不利
第一节选举中的席位分配
(Quota Method)
一种以“相对公平”为标准的席位分配方法,来源于著名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。
美位分配作了明确规定,议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只有65席,因为议会有权改变它的席位数,到1910年,议会增加到435席。宪法并没有规定席位的具体分配办法,因此在1881年,当考虑重新分配席位时,发现用当时的最大余数分配方法,阿拉巴玛州在299个席位中获得8个议席,而当总席位增加为300席时,它却只能分得7个议席。这一怪事被称为有名的“阿拉巴玛悖论”。
系别学生比例 20席的分配
人数(%) 比例结果
甲 103
乙 63
丙 34
总和 200 20
21席的分配
比例结果
21
问题
三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。
现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席,又如何分配。
比例加惯例
对丙系公平吗
系别学生比例 20席的分配
人数(%) 比例结果
甲 103
乙 63
丙 34
总和 200 20
系别学生比例 20席的分配
人数(%) 比例结果
甲 103 10
乙 63 6
丙 34 4
总和 200 20
21席的分配
比例结果
11
7
3
21
“公平”分配方法
衡量公平分配的数量指标
人数席位
A方 p1 n1
B方 p2 n2
当p1/n1= p2/n2 时,分配公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15
p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1=1050, n1=10, p1/n1=105
p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平程度已大大降低!
虽二者的绝对不公平度相同
若 p1/n1> p2/n2 ,对不公平
A
p1/n1– p2/n2=5
公平分配方案应使 rA , rB 尽量小
设A, B已分别有n1, n2 席,若增加1席,问应分给A, 还是B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ,即对A不公平
~ 对A的相对不公平度
将绝对度量改为相对度量
类似地定义 rB(n1,n2)
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
“公平”分配