文档介绍：习题讲解
第三章测度理论
1 设E是直线上的一有界集, ,则对任意小于的正数c,恒有子集E1,使
证明:由于E有界,故不妨令
令f(x)=m*(E∩[a,x]),则f(a)=0,f(b)=m*E,
下证f(x)在[a,b]上连续
[ a x1 x2 b ]
从而f(x)在[a,b]上(一致)连续;
由界值定理知,存在ξ∈[a,b] ,使f(ξ)=c,
令E1=E ∩[a, ξ],则E1满足要求.
任取x1,x2 ∈[a,b], x1<x2,则
[ a x1 x2 b ]
f(x)=m*(E∩[a,x])
2 设A,B是Rn的子集,A可测,证明等式
证明:
注意:不要说直接两式相减,
因为m*B可能为无穷.
3 设A,B是Rn的子集,证明不等式
证明:
注意:不要说直接
两式相减,因为
m*B可能为无穷.
说明:也可通过
来证明
设,存在可测集列{An},{Bn},使得 且,试证明E可测.
进一步为可测集。
4
5 直线上可测集全体A的势为
再由Bernstein定理知
从而
又P,R的势都为
证明:令Cantor集为P, 由于Cantor的测度为0,
从而它的子集都可测,故