文档介绍：—幂法与反幂法
矩阵特征值与特征向量的计算
一﹑问题的提出:
工程技术的许多实际问题,例如振动问题,稳定问题的求解,有时会归结成求矩阵的特征值λ和对应的特征向量χ。
学过线性代数后,我们已知求矩阵A的特征值λ和特征向量χ的解法,即先求出A的特征多项式:
令f﹙x﹚﹦0。
通过求解上述高次多项式方程,所得根λ即为矩阵A的特征值,然后求解方程组﹙A﹣λI﹚X﹦0,就可得出特征值λ对应的特征向量X。
但众所周知,高次多项式求根是相当困难的,而且重根的计算精度较低。同时,矩阵A求特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏感,这对最后计算结果影响很大。因此,从数值计算角度来看,上述方法缺乏实用价值。
目前,求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法----幂法,而后再介绍一些反幂法的内容。
(1)幂法
定理:设矩阵A的特征值为
并设A有完全的特征向量系(它们线性无关),则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列
有
其中表示向量的第j个分量.

于是,由矩阵特征值定义知,得
…………..
同理可得
假定,因为,故得
从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方法,具体步骤如下:
(1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0=(1,1,.…,1)T
(2)计算Vk=AVk-1
(3)当k足够大时,即可得到:
若按上述计算过程,有一严重缺点,当|1|>1 (或| 1 |<1时){Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大,计算机就可能出现上溢(或随K的增大而很快出现下溢),因此,在实际计算时,须按规范法计算,每步先对向量Vk进行“规范化”, 即取Vk中绝对值最大的一个分量记作
mk =max(Vk ),用mk遍除的所有向量Vk ,得到规范化向量。
为说明上述算法的正确性,我们试证明下述定理
定理二:在定理一的条件下,规范化向量序列{uk}收敛于矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列{Vk}的绝对值最大的分量mk收敛于1,即
证:
用幂法求矩阵
按模最大特征值1和对应的特征向量x1
解: 取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ,计算出Vk,uk和mk,迭代7次的结果列于下表
由上可见经过7次迭代, m7的值已稳定到小数后5位,故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作: