文档介绍：第九章方差分析
在工农业生产和科学研究中,经常遇到这样的问题:影响产品产量、质量的因素很多,我们需要了解在这众多的因素中,哪些因素对影响产品产量、,要先做试验,.
在方差分析中,把在试验中变化的因素称为因子,用A、B、C、...表示;因子在试验中所取的不同状态称为水平,因子A的r个不同水平用A1、A2、...、Ar表示.
§1 单因子方差分析
§ 基本概念
水平
观测值
A1
x11
x12
...
x1n1
A2
x21
x22
…
x2n2
…
…
…
…
…
Ar
xr1
xr2
…
xrnr
例:为寻求适应本地区的高产油菜品种,今选了五种不同品种进行试验,每一品种在四块试验田上得到在每一块田上的亩产量如下:
我们要研究的问题是诸不同品种的平均亩产量是否有显著差异.
试验的目的就是要检验假设
H0:μ1=μ2=μ3=μ4=μ5
,那么我们就认为这五种品种的平均亩产量之间有显著差异;反之,.
在本例中只考虑品种这一因子对亩产量的影响,,我们可以认为一个品种的亩产量就是一个总体,在方差分析中总假定各总体独立地服从同方差正态分布,即第i个品种的亩产量是一个随机变量,它服从分布N(μi,σ2), i=1,2,3,4,5.
设在某试验中,因子A有r个不同水平A1,A2,...,Ar,在Ai水平下的试验结果Xi服从正态分布N(μi,σ2),i=1,2,...,r,且X1,X2,...,,获得了ni个试验结果Xij,j=1,2,...,ni这可以看成是取自Xi的一个容量为ni的样本,i=1,2,...,r.
实际上,方差分析是检验同方差的若干正态总体均值是否相等的一种统计方法.
,可以有单因子方差分析,双因子分析,.
由于Xij~N(μi,σ2) ,故Xij与μi的差可以看成一个随机误差εij~N(0,σ2) .这样一来,可以假定Xij具有下述数据结构式:
为了今后方便起见,把参数的形式改变一下,并记
称μ为一般平均,αi为因子A的第i 个水平的效应.
Xij= μi+ εij,i=1,2,...,r;j=1,2,...,ni
其中诸εij~N(0,σ2),
H0:μ1=μ2=…=μr
在这样的改变下,单因子方差分析模型中的数据结构式可以写成:
所要检验的假设可以写成:
为了导出检验假设的统计量,下面我们分析一下什么是引起诸Xij 波动的原因.
引起诸Xij 波动的原因有两个:一个是假设H0为真时,诸Xij的波动纯粹是随机性引起的;,并把引起波动的两个原因用另两个量表示出来,这就是方差分析中常用的平方和分解法.
§ 平方和分解公式
其中交叉乘积项
下面我们来看各式的意义